Рациональная нормальная кривая

Рациональная нормальная кривая — гладкая рациональная кривая степени^[англ.] n в n-мерном проективном пространстве ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}.}$ Она является одним из сравнительно простых проективных многообразий, более формально, она является образом вложения Веронезе, применённого к проективной прямой.

Определение

Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как образ отображения

${\displaystyle \nu$ :\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{n}}

которое переводит точку с однородными координатами ${\displaystyle [s:t]}$ в точку

${\displaystyle [s^{n}:s^{n-1}t:s^{n-2}t^{2}:\ldots :t^{n}].}$

В аффинной карте ${\displaystyle x_{0}=1}$ это отображение записывается более простым образом:

${\displaystyle \nu :x\mapsto (x,x^{2},\ldots ,x^{n}).}$

Нетрудно видеть, что рациональная нормальная кривая получается замыканием аффинной кривой ${\displaystyle (x,x^{2},\dots ,x^{n})}$ при помощи единственной бесконечно удалённой точки^[англ.].

Эквивалентным образом, рациональную нормальную кривую можно задать как множество общих нулей однородных многочленов

${\displaystyle F_{i,j}(x_{0},\ldots ,x_{n})=x_{i}x_{j}-x_{i+1}x_{j-1},}$

где ${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$ — однородные координаты на ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. Рассматривать все эти многочлены не обязательно, для задания кривой достаточно выбрать, например, ${\displaystyle F_{i,i}}$ и ${\displaystyle F_{1,n-1}.}$

Альтернативная параметризация

Пусть ${\displaystyle [a_{i}:b_{i}]}$ — ${\displaystyle n+1}$ различных точек на ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}.}$ Тогда многочлен

${\displaystyle G(s,t)=\Pi _{i=0}^{n}(a_{i}s-b_{i}t)}$

является однородным многочленом степени ${\displaystyle n+1}$ с различными корнями. Многочлены

${\displaystyle H_{i}(s,t)={\frac {G(s,t)}{(a_{i}s-b_{i}t)}}}$

образуют базис пространства однородных многочленов степени n. Отображение

${\displaystyle [s:t]\mapsto [H_{0}(s,t):H_{1}(s,t):\ldots :H_{n}(s,t)]}$

также задаёт рациональную нормальную кривую. Действительно, мономы ${\displaystyle s^{n},s^{n-1}t,s^{n-2}t^{2},\ldots ,t^{n}}$ являются всего лишь одним из возможных базисов в пространстве однородных многочленов, и его можно перевести линейным преобразованием в любой другой базис.

Данное отображение отправляет нули многочлена ${\displaystyle G(s,t)}$ в «координатные точки», то есть точки, все однородные координаты которых, кроме одной, равны нулю. Обратно, рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки, может быть задана параметрически при помощи некоторого многочлена ${\displaystyle G.}$

Свойства

• Любые ${\displaystyle n+1}$ точки на рациональной нормальной кривой в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ линейно независимы. Обратно, любая кривая с таким свойством является рациональной нормальной.
• Для любых ${\displaystyle n+3}$ точек в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n},}$ таких что любые ${\displaystyle n+1}$ из них линейно независимы, существует единственная рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки. Для построения такой кривой достаточно перевести ${\displaystyle n+1}$ из точек в «координатные», а затем, если оставшиеся точки перешли в ${\displaystyle [c_{0}:c_{1}:\ldots :c_{n}],[d_{0}:d_{1}:\ldots :d_{n}],}$ в качестве многочлена ${\displaystyle G}$ выбрать многочлен, зануляющийся в точках ${\displaystyle [a_{i}:b_{1}]=[c_{i}^{-1}:d_{i}^{-1}].}$
• Рациональная нормальная кривая в случае ${\displaystyle n>2}$ не является полным пересечением, то есть её невозможно задать числом уравнений, равным её коразмерности.^[1]