Рациональная поверхность

Рациональная поверхность — это поверхность, бирационально эквивалентная проективной плоскости, или, другими словами, рациональное многообразие^[англ.] размерности два. Рациональные поверхности являются простейшими из примерно 10 классов поверхностей классификации Энрикеса — Кодаиры комплексных поверхностей, и это были первые исследованные поверхности.

Структура

Любую неособую рациональную поверхность можно получить путём неоднократного раздутия^[англ.] минимальной рациональной поверхности. Минимальными рациональными поверхностями являются проективная плоскость и поверхности Хирцебруха^[англ.] Σ_r для r = 0 или r ≥ 2.

Инварианты: Все плюрироды^[англ.] равны 0 и фундаментальная группа тривиальна.

Ромб Ходжа:

                 1
           0          0
      1        1+n        1,
           0          0
                 1

где n равен 0 для проективной плоскости, 1 для поверхностей Хирцебруха^[англ.] и больше 1 для других рациональных поверхностей.

Группа Пикара^[англ.] является нечётной унимодулярной решёткой I_1,n, за исключением поверхностей Хирцебруха^[англ.] Σ_2m, для которых это чётная унимодулярная решётка II_1,1.

Теорема Кастельнуово

Гвидо Кастельнуово доказал, что любая комплексная поверхность, для которой q и P₂ (иррегулярность и второй плюрирод) равны нулю, является рациональной. Это используется в классификации Энрикеса — Кодаиры для распознавания рациональных поверхностей. Зарисский^[1] доказал, что теорема Кастельнуово верна также для полей положительной характеристики.

Из теоремы Кастельнуово следует также, что любая унирациональная^[англ.] комплексная поверхность рациональна. Большинство унирациональных комплексных многообразий размерности 3 и выше не являются рациональными. Для характеристики p > 0 Зарисский^[1] нашёл пример унирациональных поверхностей (поверхности Зарисского^[англ.]), не являющихся рациональными.

Одно время было неясно, являются комплексные поверхности с нулевыми q и P₁ рациональными или нет, но Федериго Энрикес нашёл контрпример (поверхность Энрикеса^[англ.]).

Примеры рациональных поверхностей

• Поверхности Бордига^[англ.]: Вложение степени 6 проективной плоскости в P⁴, определённое 10 точками в общем положении.
• Поверхности Шатле^[англ.]
• Поверхности Кобла^[англ.]
• Кубические поверхности. Неособые кубические поверхности изоморфны раздутию проективной плоскости в 6 точках, и являются плоскостями Фано. Существуют именованные примеры — кубика Ферма, кубическая узловая поверхность Кэли^[англ.] и диагональная поверхность Клебша^[англ.].
• Поверхности дель Пеццо^[англ.] (поверхности Фано)
• Поверхность Эннепера
• Поверхности Хирцебруха^[англ.] Σ_n
• P¹×P¹. Произведение двух проективных прямых является поверхностью Хирцебруха Σ₀.
• Проективная плоскость
• Поверхность Сегре^[англ.]. Пересечение двух квадрик. Поверхность изоморфна проективной плоскости, раздутой в 5 точках.
• Поверхность Штайнера^[англ.]. Поверхность в P⁴ с особенностями, которая бирациональна проективной плоскости.
• Поверхности Вайта^[англ.], обобщение поверхностей Бордига.
• Поверхность Веронезе. Вложение проективной плоскости в P⁵.

См. также

• Список алгебраических поверхностей^[англ.]