Ребро (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Ребро.

Ребро в геометрии — отрезок, соединяющий две вершины многоугольника или многогранника (в размерностях 3 и выше)^[1]. В многоугольниках ребро является отрезком, лежащим на границе^[2] и чаще называется стороной многоугольника. В трёхмерных многогранниках и в многогранниках большей размерности ребро — это отрезок, общий для двух граней^[3]. Отрезок, соединяющий две вершины и проходящий через внутренние или внешние точки, ребром не является и называется диагональю.

Три ребра AB, BC и CA, каждое из которых соединяет две вершины треугольника.	Многоугольник, ограниченный рёбрами (в данном случае — квадрат, имеющий 4 ребра).
Каждое ребро является общим для двух граней многогранника, в данном случае, куба.	Любое ребро является общим для трёх и более граней четырёхмерного многогранника, как видно на этой проекции тессеракта.

Связь с рёбрами графа

Любой многогранник может быть представлен его рёберным скелетом^[англ.], то есть графом, вершинами которого служат геометрические вершины многогранника, а рёбра графа соответствуют геометрическим рёбрам^[4]. И обратно, графы, являющиеся скелетами трёхмерных многогранников по теореме Штайница — то же самое, что вершинно k-связные планарные графы^[5].

Число рёбер в многограннике

Любая поверхность выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику

${\displaystyle V-E+F=2,}$

где ${\displaystyle V}$ — число вершин, ${\displaystyle E}$ — число рёбер, а ${\displaystyle F}$ — число граней. Это равенство известно как формула Эйлера. Таким образом, число рёбер на 2 меньше суммы числа вершин и граней. Например, куб имеет 8 вершин и 6 граней, а потому (по формуле) 12 рёбер.

Инцидентность другим граням

В многоугольнике в каждой вершине сходятся два ребра (стороны). По теореме Балинского по меньшей мере ${\displaystyle d}$ рёбер сходятся в каждой вершине ${\displaystyle d}$-мерного выпуклого многогранника^[6]. Аналогично, в трёхмерном многограннике в точности две двумерные грани имеют общее ребро^[7], в то время как в многогранниках более высоких размерностей общее ребро могут иметь три и более двумерных граней.

Альтернативная терминология

В теории выпуклых многогранников высоких размерностей (свыше 3) фасета (сторона ${\displaystyle d}$-мерного многогранника) — это ${\displaystyle (d-1)}$-мерная грань. Таким образом, рёбра (стороны) многоугольника являются также фасетами (для трёхмерных многогранников фасетами будут грани)^[8].

См. также

• Продолжение стороны^[англ.]