Ромбододекаэдральные соты

Ромбододекаэдральные соты — это замощение 3-мерного евклидова пространства. Это диаграмма Вороного гранецентрированной кубической упаковки сфер, которая имеет наибольшую плотность упаковки одинаковых сфер (см. Гипотеза Кеплера).

Ромбододекаэдральные соты
Тип	двойственые соты для выпуклых однородных сот[англ.]
Диаграммы Коксетера — Дынкина	=
Тип ячейки	Ромбододекаэдр V3.4.3.4
Типы граней	Ромбы
Кристаллографическая группа	Fm3m (225)
Нотация Коксетера	½${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$, [1+,4,3,4] ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$, [4,31,1] ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×2, <[3[4]]>
Двойственные соты	Тетраэдрально-октаэдральные соты?!
Свойства	рёберно транзитивные, гранетранзитивное, ячейно транзитивное

Геометрия

Соты состоят из копий одной ячейки - ромбододекаэдра. Все грани являются ромбами с диагоналями с соотношением 1:√2. Три ячейки сходятся в каждом ребре. Таким образом, соты являются ячейно транзитивными, гранетранзитивными и рёберно транзитивными. Но они не вершинно транзитивны, поскольку имеют два вида вершин. Каждая вершина тупых углов ромбических граней принадлежит четырём ячейкам. Каждая вершина острых углов ромбических граней принадлежит 6 ячейкам.

Ромбододекаэдр может быть скручен по одному из его шестиугольных сечений для образования трапецеромбического додекаэдра, который является ячейкой похожего замощения, диаграммы Вороного шестиугольной плотной упаковки.

Соты могут быть получены из замощения чередующихся кубов путём наращения каждой грани куба пирамидой.

Вид ромбододекаэдральных сот изнутри.

Раскраски

Замощающие ячейки могут быть раскрашены в 4 цвета в кубических слоях по 2 цвета в каждом, так что две ячейки одного цвета соприкасаются только в вершинах. Можно раскрасить в 6 цветов шестиугольные слои по 3 цвета в каждом, так что ячейки одного цвета не соприкасаются вообще.

Раскраска в 4 цвета	Раскраска в 6 цветов
Попеременные квадратные слои жёлто-синие и красно-зелёные	Попеременные шестиугольные слои красно-зелёно-синие и пурпурно-жёлто-голубые

Связанные соты

Ромбододекаэдральные соты могут быть разбиты на треугольные трапецоэдральные соты^[англ.] путём разбиения каждого ромбододекаэдра на 4 треугольных трапецоэдра^[англ.]. Каждый ромбододекаэдр может быть разбит на 12 ромбических пирамид.

Трапецеромбические додекаэдральные соты

Трапецеромбические додекаэдральные соты
Type	двойственные соты для выпуклых однородных сот[англ.]
Тип ячейки	Трапецеромбический додекаэдр VG3.4.3.4
Типы граней	ромб, трапеция
Группа симметрии	P63/mmc
Двойственный	повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты[англ.]*
Свойства	однородные по рёбрам, граням и ячейкам

Трапецеромбические додекаэдральные соты — это замощение евклидова 3-мерного пространства. Оно состоит из копий единственной ячейки, трапецеромбического додекаэдра. Соты подобны ромбодедраэдральным сотам с более высокой симметрией, которые имеют все 12 граней в виде ромбов.

Связанные соты

Соты являются двойственные вершинно транзитивным повёрнутым тетраэдрально-октаэдральным сотам^[англ.]*.

Ромбо-пирамидальные соты

Ромбо-пирамидальные соты
(Нет изображения)
Тип	двойственные соты для однородных сот
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Ячейка	ромбическая пирамида
Грани	ромбы треугольники
Группы Коксетера	[4,31,1], ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ [3[4]], ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
Группа симметрии	Fm3m (225)
Вершинные фигуры	, ,
Двойственные соты	скошенные кубические соты[англ.]*
Свойства	Ячейно транзитивное

Ромбо-пирамидальные соты — это однородное заполняющее 3-мерное евклидово пространоство замощение.

Эти соты можно рассматривать как ромбододекаэдральные соты, в которых ромбододекаэдры разбиты на 12 ромбических пирамид.

Ромбододекаэдральные соты

Ромбоэдральное разбиение

В кубе

Связанные соты

Соты являются двойственными скошенным кубическим сотам^[англ.]*:

Литература

• Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Space-filling polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Examples of Housing Construction using this geometry