Связное двоеточие

Свя́зное двоето́чие (двоеточие Александрова) — конечное топологическое пространство из двух точек определённого типа; наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.

Определяется как топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов ${\displaystyle \circ }$ («открыто») и ${\displaystyle \bullet }$ («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:

• ${\displaystyle \varnothing }$ — пустое множество;
• ${\displaystyle \{\circ \}}$ — множество из одного элемента «открыто»;
• ${\displaystyle \{\circ ,\bullet \}}$ — всё пространство.

Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только ${\displaystyle \{\circ \}}$, а замкнутым — только ${\displaystyle \{\bullet \}}$. Мы видим, что точка ${\displaystyle \bullet }$ не имеет окрестностей, кроме всего пространства; следовательно, пространство нарушает аксиому T1, в частности, не является хаусдорфовым. Также мы видим, что точка ${\displaystyle \circ }$ не является замкнутым подмножеством.

Отображение ${\displaystyle F}$ из топологического пространства ${\displaystyle X}$ в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз ${\displaystyle F^{-1}(\circ )}$ точки ${\displaystyle \{\circ \}}$ открыт в ${\displaystyle X}$ (или, что то же самое, прообраз ${\displaystyle F^{-1}(\bullet )}$ точки ${\displaystyle \{\bullet \}}$ замкнут в ${\displaystyle X}$). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия. Связное двоеточие является связным и также линейно связным пространством.

Александровский куб — степень связного двоеточия ${\displaystyle F^{m}}$ — является универсальным пространством для ${\displaystyle T_{0}}$-пространств веса ${\displaystyle m}$ при ${\displaystyle m\geqslant \aleph _{0}}$, то есть любое ${\displaystyle T_{0}}$-пространство веса ${\displaystyle m}$ гомеоморфно подпространству ${\displaystyle F^{m}}$^[1].