Симметрия относительно перестановки одинаковых частиц

Симметрия относительно перестановки одинаковых частиц — в квантовой механике принцип тождественности состояний физических систем, состоящих из частиц одного сорта, при любых перестановках частиц в них.

Например, в системе, состоящей из двух одинаковых частиц, не существует состояния, в котором первая частица находится в состоянии ${\displaystyle x}$, а вторая в состоянии ${\displaystyle y}$, или наоборот. Существует лишь состояние, в котором одна из частиц находится в состоянии ${\displaystyle x}$, а другая в состоянии ${\displaystyle y}$^[1].

Математически в квантовой механике выражается в инвариантности (симметрии) гамильтониана системы одинаковых частиц относительно перестановки координат любой пары частиц.

Перестановку частиц осуществляет оператор перестановки частиц ${\displaystyle P_{kj}}$, который переводит волновую функцию системы частиц:

${\displaystyle \Psi _{m_{1},m_{2},...,m_{j},...m_{k},...}(r_{1},r_{2},...,r_{j},...,r_{k},...)=P_{kj}\Psi _{m_{1},m_{2},...,m_{k},...m_{j},...}(r_{1},r_{2},...,r_{k},...,r_{j},...)\,,}$

где ${\displaystyle m_{1},m_{2},...}$ — проекции спинов частиц, ${\displaystyle r_{1},r_{2},...}$ — координаты частиц. Два раза применяемый оператор перестановки не меняет волновую функцию, поэтому его собственными значениями могут быть лишь числа ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle +1}$ (в двумерных системах, однако, возможны и комплексные собственные значения, приводящие к квазичастицам энионам).

Собственные функции оператора перестановки, меняющие свой знак, называются антисимметричными, оставляющие свой знак — симметричными. Симметричными волновыми функциями описываются частицы со спином, равным целому числу постоянных Планка. Для статистического описания их систем применяется статистика Бозе — Эйнштейна. Антисимметричными волновыми функциями характеризуются частицы со спином, равным полуцелому числу постоянных Планка. Для статистического описания их систем используется статистика Ферми — Дирака^[2]. Связь спина и статистики вытекает из принципа релятивистской инвариантности^[3].

См. также

• Принцип тождественности