Синус-верзус

Си́нус-ве́рзус (лат. sinus versus — обращённый синус; другие названия: верси́нус, си́нус ве́рсус, называется также «стре́лка дуги́») — одна из редко используемых тригонометрических функций. Синус-верзус угла ${\displaystyle \vartheta }$ обозначается символом ${\displaystyle \operatorname {versin} \vartheta$ ;} иногда используются обозначения ${\displaystyle \operatorname {vers} \vartheta ,\quad \sin \,\operatorname {vers} \vartheta .}$

Определение тригонометрических функций на единичной окружности. Отрезок CD описывает версинус

Определение

Синус-верзус определяется с помощью синуса и косинуса как

${\displaystyle \operatorname {versin} \vartheta =1-\cos \vartheta =2\sin ^{2}\left({\frac {\vartheta }{2}}\right).}$

Синус-верзус вместе с косинусом составляет радиус тригонометрической окружности.

Свойства

График функции синус-верзус

Версинус — периодическая функция с периодом 2π; её максимумы находятся в точках x = ±(2n + 1)π, а минимумы в точках x = ±2nπ; она определена, непрерывна и бесконечно дифференцируема для всех действительных чисел.

Синус-верзус равен отношению эксеканса (который определяется как ${\displaystyle \operatorname {exsec} x=\sec x-1}$) к секансу по формуле

${\displaystyle \operatorname {versin} x=\operatorname {exsec} x/\sec x}$

(всюду, за исключением точек, где секанс и эксеканс не определены, т.е. при x = ±(2n + 1)π/2, однако в этих точках предел отношения равен синус-верзусу).

Дополнительной функцией к версинусу является коверсинус, который определяется как ${\displaystyle \operatorname {coversin} \,\vartheta =1-\sin \vartheta =\operatorname {versin} (\vartheta +\pi /2).}$

Версинус можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Существует также функция гаверсинус (haversin, от англ. half of versine, половина версинуса), связанная с версинусом следующей формулой:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {versin} x}{2}}=\operatorname {haversin} x.}$

Производная версинуса — синус:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {versin} z=\sin z.}$

Первообразная:

${\displaystyle \int \operatorname {versin} z\,dz=z-\sin z+C.}$

Синус-верзус связан с функцией аккорда crd x = 2 sin(x/2) следующей формулой

${\displaystyle \operatorname {versin} x=2\sin ^{2}(x/2)=\operatorname {crd} x\cdot \sin(x/2)={\frac {\operatorname {crd} ^{2}x}{2}}.}$

История и использование

Синус-верзус играл важную роль в навигации по звёздам^[1], а также был удобен для ручных расчётов с использованием логарифмов.

См. также

• Редко используемые тригонометрические функции