Редко используемые тригонометрические функции

Ре́дко испо́льзуемые тригонометри́ческие фу́нкции — функции угла, которые в настоящее время используются редко по сравнению с шестью основными тригонометрическими функциями (синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом). К ним относятся:

Определение тригонометрических функций через окружность. Отрезки CD и DE описывают соответственно версинус и эксеканс.

Графики функций versin, vercos, haversin, havercos, exsec, excsc

• Синус-верзус (другие написания: версинус, синус версус, называется также «стрелка дуги»). Определяется как ${\displaystyle \operatorname {versin} \,\vartheta =1-\cos \vartheta =2\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}$ Представляет собой расстояние от центральной точки дуги, измеряемой удвоенным данным углом, до центральной точки хорды, стягивающей дугу. Иногда используются обозначения ${\displaystyle \operatorname {vers} \,\vartheta }$, ${\displaystyle \sin \,\operatorname {vers} \,\vartheta }$.
• Косинус-верзус (другие написания: косинус версус или веркосинус). Определяется как ${\displaystyle \operatorname {vercos} \,\vartheta =\operatorname {versin} \,\left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=1+\cos \vartheta .}$ Иногда используется обозначение ${\displaystyle \cos \,\operatorname {vers} \,\vartheta }$.
• Аккорд — одна из редких тригонометрических функций, которая использовалась в ранней тригонометрии. Определяется эта функция как ${\displaystyle 2\sin(x/2)}$.
• Коверсинус (лат. coversinus, сокращение от англ. coversed sine. Другие написания: синус-коверзус, покрытый синус.) Определяется эта функция как ${\displaystyle \operatorname {coversin} \,\vartheta =1-\sin \vartheta }$. Для этой функции используются также обозначения ${\displaystyle \operatorname {covers} \,\vartheta }$ или ${\displaystyle \operatorname {cvs} \,\vartheta }$.
• Коверкосинус (лат. covercosinus, сокращение от англ. coversed cosinе. Другие написания: косинус-коверзус, покрытый косинус.) Определяется функция как ${\displaystyle \operatorname {covercos} \,\vartheta =1+\sin \vartheta }$. Для данной функции также используeтся обозначениe ${\displaystyle \operatorname {cvc} \,\vartheta }$.
• Гаковерсинус (лат. hacoversinus, coкращение от англ. half the coversed sine.) Определяется данная функция как ${\displaystyle \operatorname {hacoversin} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {coversin} \,\vartheta }{2}}}$.
• Гаковеркосинус (лат. hacovercosinus, сокращение от англ. half the coversed cosine.) Определяется как ${\displaystyle \operatorname {hacovercos} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {covercos} \,\vartheta }{2}}}$.
• Гаверсинус (лат. haversinus, сокращение от англ. half the versed sine). Определяется как ${\displaystyle \operatorname {haversin} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {versin} \,\vartheta }{2}}=\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}$ Используется также обозначение ${\displaystyle \operatorname {hav} \,\vartheta .}$
• Гаверкосинус (лат. havercosinus, сокращение от англ. half the versed cosine). Определяется как ${\displaystyle \operatorname {havercos} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {vercos} \,\vartheta }{2}}=\cos ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}$ Используется также обозначение ${\displaystyle \operatorname {hac} \,\vartheta .}$
• Эксеканс (лат. exsecant) или экссеканс. Определяется как ${\displaystyle \operatorname {exsec} \vartheta =\sec \vartheta -1.}$
• Экскосеканс — дополнительная функция к эксекансу: ${\displaystyle \operatorname {excsc} \vartheta =\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=\operatorname {cosec} \vartheta -1.}$

Использование

Версинус, коверсинус и гаверсинус были удобны для ручных расчётов с использованием логарифмов (использовали логарифмы или логарифмическую линейку), поскольку они всюду неотрицательны, однако в связи с развитием вычислительных средств эта область применения неактуальна. В настоящее время эти функции используются для описания соответствующих сигналов в электронике (например, в функциональных генераторах). Гаверсинус также используется в навигационных расчётах для избежания ошибок округления в вычислительных системах с ограниченной разрядностью. Гаверсинус используется для навигационных расчётов в так называемой формуле гаверсинуса^[англ.], определяющей угловое расстояние между точками на сфере, для которых заданы широта ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$ и долгота ${\displaystyle \lambda _{1},lambda_{2}}$:

${\displaystyle \operatorname {haversin} \vartheta =\operatorname {haversin} \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)+\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\operatorname {haversin} \left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right).}$

Функция эксеканс использовалась в железнодорожном строительстве, сферической тригонометрии, а также в геодезии вплоть до 1980-х годов.

Синус-верзус

Основная статья: Синус-верзус

Определение

Синус-верзус (версинус) определён через синус и косинус как

${\displaystyle \operatorname {versin} \vartheta =1-\cos \vartheta =2\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}$

Синус-верзус вместе с косинусом составляет радиус тригонометрической окружности.

Свойства

Версинус — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Версинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

${\displaystyle \operatorname {versin} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная версинуса

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {versin} z=\sin z.}$

Первообразная версинуса

${\displaystyle \int \operatorname {versin} z\mathrm {d} z=z-\sin z+C.}$

Косинус-верзус

Определение

Косинус-верзус (веркосинус) определён через версинус и косинус как

${\displaystyle \operatorname {vercos} \vartheta =\operatorname {versin} \left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=1+\cos \vartheta .}$

Свойства

Веркосинус — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Веркосинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

${\displaystyle \operatorname {vercos} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная веркосинуса

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {vercos} z=-\sin z.}$

Первообразная веркосинуса

${\displaystyle \int \operatorname {vercos} z\mathrm {d} z=z+\sin z+C.}$

Гаверсинус

Определение

Гаверсинус определён через верзус-синус и синус как

${\displaystyle \operatorname {haversin} \,\vartheta ={\frac {\operatorname {versin} \,\vartheta }{2}}=\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}$

Свойства

Гаверсинус — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Гаверсинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

${\displaystyle \operatorname {haversin} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная гаверсинуса

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {haversin} z={\frac {\sin z}{2}}.}$

Первообразная гаверсинуса

${\displaystyle \int \operatorname {haversin} z\mathrm {d} z=-{\frac {\sin z}{2}}+{\frac {z}{2}}+C.}$

Гаверкосинус

Определение

Гаверкосинус определён через верзус-косинус и косинус как

${\displaystyle \operatorname {havercos} \vartheta ={\frac {\operatorname {vercos} \vartheta }{2}}=\cos ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}.}$

Свойства

Гаверкосинус — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Гаверкосинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

${\displaystyle \operatorname {havercos} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная гаверкосинуса

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {havercos} z=-{\frac {\cos z}{2}}.}$

Первообразная гаверкосинуса

${\displaystyle \int \operatorname {havercos} z\mathrm {d} z={\frac {\cos z}{2}}+{\frac {z}{2}}+C.}$

Эксеканс

Определение

Эксеканс определён через секанс как

${\displaystyle \operatorname {exsec} \vartheta =\sec \vartheta -1.}$

Эксеканс связан с версинусом и тангенсом следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {exsec} \vartheta ={\frac {\operatorname {versin} \vartheta }{\cos \vartheta }}.}$

${\displaystyle \operatorname {exsec} \vartheta =\operatorname {tg} \vartheta \cdot \operatorname {tg} {\frac {\vartheta }{2}}.}$

Свойства

Эксеканс — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Эксеканс определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел, кроме счётного количества разрывов второго рода в точках ${\displaystyle \pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}}$, где n — целое.

${\displaystyle \operatorname {exsec} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная эксеканса

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {exsec} z=\operatorname {tg} z\cdot \operatorname {sec} z.}$

Первообразная эксеканса

${\displaystyle \int \operatorname {exsec} z\mathrm {d} z=\ln \left(\cos {\frac {z}{2}}+\sin {\frac {z}{2}}\right)-\ln \left(\cos {\frac {z}{2}}-\sin {\frac {z}{2}}\right)-z+C.}$

Экскосеканс

Определение

Экскосеканс определён через эксеканс и косеканс как

${\displaystyle \operatorname {excsc} \vartheta =\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\vartheta \right)=\operatorname {cosec} \vartheta -1.}$

Свойства

Экскосеканс — периодическая функция с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Экскосеканс определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел, кроме счётного количества разрывов второго рода в точках ${\displaystyle \pm \pi n}$, где n — целое .

${\displaystyle \operatorname {excsc} }$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная экскосеканса

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {excsc} z=-\operatorname {ctg} z\cdot \sec z.}$

Первообразная экскосеканса

${\displaystyle \int \operatorname {excsc} z\mathrm {d} z=\ln \left(\operatorname {tg} {\frac {z}{2}}\right)-z+C.}$

Ссылки

• Статьи в энциклопедии MathWorld, описывающие эксеканс, версинус, коверсинус, гаверсинус, гаверкосинус.
• Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере.
• Вычисление расстояния между двумя точками на сфере: использование гаверсинуса в sql.

См. также

• Интегральный синус
• Интегральный косинус
• Многочлены Чебышёва
• Функция Гудермана