Случайное компактное множество

Случайное компактное множество — случайная величина со значениями в компактных множествах. Случайные компактные множества используются при изучении аттракторов случайных динамических систем.

Определение

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ — множество всех компактных подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. На ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ можно определить метрику Хаусдорфа ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle h(K_{1},K_{2})=\inf \left\{\varepsilon >0:K_{1}\subseteq K_{2}\bigoplus B(0,\varepsilon ),K_{2}\subseteq K_{1}\bigoplus B(0,\varepsilon )\right\}.}$

С такой метрикой ${\displaystyle h}$ множество ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ становится полным сепарабельным метрическим пространством. Соответствующие открытые подмножества порождают борелевскую ${\displaystyle \sigma }$-алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{K}}$ множества ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.

Тогда случайное компактное множество — это измеримая функция из некоторого вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}$ в измеримое пространство ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathfrak {B}}_{K})}$. Случайные компактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона^[1]. Следовательно, их распределение задается вероятностями

${\displaystyle \mathbf {P} (X\cap K=\emptyset ),\ \ \ K\in {\mathcal {K}}.}$

Распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения ${\displaystyle \mathbf {P} (X\subset K).}$

Связанные определения

• Для ${\displaystyle K=\{x\}}$ определена вероятность ${\displaystyle \mathbf {P} (x\in X)}$, которая удовлетворяет соотношению ${\displaystyle \mathbf {P} (x\in X)=1-\mathbf {P} (x\not \in X).}$ Тогда можно задать функцию покрытия ${\displaystyle p_{X}}$ формулой ${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbf {P} (x\in X),\;x\in \mathbb {R} ^{2}.}$ Функция покрытия принимает значения между ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ и может интерпретироваться как математическое ожидание индикаторной функции ${\displaystyle \mathbf {1} _{X}(x):}$ ${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbf {E} \mathbf {1} _{X}(x).}$
• Множество ${\displaystyle b_{X}}$ всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$ с ${\displaystyle p_{X}(x)>0}$ называется базой ${\displaystyle X.}$
• Множество ${\displaystyle k_{X}}$ всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$ с ${\displaystyle p_{X}(x)=1}$ называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом ${\displaystyle e(X)}$. Если ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ — это последовательность независимых одинаково распределенных случайных компактных множеств, то почти наверное ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)}$ и ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}}$ сходится почти наверное к ${\displaystyle e(X).}$