Спектральная мера

Спектральная мера - это отображение, определённое на ${\displaystyle \sigma }$-алгебре подмножеств заданного множества, значения которого являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве.

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,M)}$ — измеримое пространство, ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство, ${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {P}}(H)}$ — множество всех ортогональных проекторов в ${\displaystyle H}$.

Отображение ${\displaystyle E:M\longrightarrow {\mathcal {P}}}$ называется спектральной мерой, если удовлетворяет следующим условиям:

1. Счетная аддитивность: если ${\displaystyle \{\delta _{n}\}}$ - конечный или счётный набор попарно непересекающихся множеств ${\displaystyle \{\delta _{n}\}\in M}$ и ${\displaystyle \delta =\bigcup _{n}\delta _{n}}$, то ${\displaystyle E(\delta )=s}$-${\displaystyle \sum _{n}{E(\delta _{n})}}$
2. Полнота: ${\displaystyle E(X)=I}$

Здесь под ${\displaystyle s}$-${\displaystyle \lim }$ и ${\displaystyle s}$-${\displaystyle \sum }$ понимается предел (соотв. сумма ряда) относительно сильной операторной топологии. Например, ${\displaystyle T=s}$-${\displaystyle \lim T_{n}}$ означает, что ${\displaystyle Tx=\lim T_{n}x}$ ${\displaystyle \forall x\in H}$. Для обозначения равномерной операторной сходимости (т.е. сходимости по операторной норме) мы пишем ${\displaystyle u}$-${\displaystyle \lim }$.

С каждой спектральной мерой ${\displaystyle E}$ можно связать скалярные меры ${\displaystyle E_{x,y}}$, ${\displaystyle x,y\in H}$. По определению ${\displaystyle E_{x,y}(A)=\langle E(A)x,y\rangle }$. Легко видеть, что мера ${\displaystyle E_{x,x}}$ положительна для любого ${\displaystyle x\in H}$.

Свойства спектральной меры

${\displaystyle \{\delta _{n}\},n=1,2,...}$, - последовательность измеримых множеств.

1. Коммутативность: ${\displaystyle E(\delta _{1})E(\delta _{2})=E(\delta _{2})E(\delta _{1})=E(\delta _{1}\cap \delta _{2})}$.
2. Ортогональность: если ${\displaystyle \delta _{1}\cap \delta _{2}=\varnothing }$, то ${\displaystyle E(\delta _{1})E(\delta _{2})=0}$.
3. Монотонность: если ${\displaystyle \delta _{1}\subset \delta _{2}}$, то ${\displaystyle E(\delta _{1})\leqslant E(\delta _{2})}$.
4. Если последовательность ${\displaystyle \{\delta _{n}\}}$ - расширяющаяся, то ${\displaystyle s}$-${\displaystyle \lim _{n\to \infty }E(\delta _{n})=E(\bigcup _{n}\delta _{n})}$.
5. Если последовательность ${\displaystyle \{\delta _{n}\}}$ - вложенная, то ${\displaystyle s}$-${\displaystyle \lim _{n\to \infty }E(\delta _{n})=E(\bigcap _{n}\delta _{n})}$.

Интеграл по спектральной мере

Пусть ${\displaystyle (X,M,H,E)}$ - пространство со спектральной мерой.

Случай ограниченной функции

${\displaystyle \Pi =\Pi (X,E)}$ - множество всех ${\displaystyle E}$-измеримых простых функций на ${\displaystyle X}$.

${\displaystyle \delta _{1},...,\delta _{n}}$ - разложение пространства ${\displaystyle X}$ на непересекающиеся подмножества, на которых функция ${\displaystyle \varphi \in \Pi }$ постоянна и ${\displaystyle c_{k}}$ - значение функции ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle \delta _{k}}$.

Интегралом от функции ${\displaystyle \varphi \in \Pi }$ по спектральной мере ${\displaystyle E}$ называется оператор ${\displaystyle J_{\varphi }=\int \varphi dE=\sum _{k\leqslant n}c_{k}E(\delta _{k})}$.

Свойства:

1. ${\displaystyle \langle J_{\varphi }(x),y\rangle =\int \varphi dE_{x,y}}$ для любых ${\displaystyle x,y\in H}$. Этим свойством оператор ${\displaystyle J_{\varphi }}$ определяется однозначно.
2. ${\displaystyle J_{\alpha \varphi +\beta \psi }=\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }}$.
3. ${\displaystyle J_{\varphi \psi }=J_{\varphi }J_{\psi }=J_{\psi }J_{\varphi }}$.
4. ${\displaystyle (J_{\varphi })^{*}=J_{\overline {\varphi }}}$.
5. ${\displaystyle J_{1}=I}$.
6. ${\displaystyle ||J_{\varphi }||=E}$-${\displaystyle sup|\varphi |}$.

${\displaystyle L_{\infty }(X,E)}$ - множество всех ${\displaystyle E}$-измеримых, ${\displaystyle E}$-ограниченных комплексных функций на ${\displaystyle X}$. Продолжим отображение ${\displaystyle {\textbf {J}}\varphi =J_{\varphi }}$ с нормированной алгебры ${\displaystyle \Pi (X,E)}$ на всей банаховой алгебры ${\displaystyle L_{\infty }(X,E)}$.

Интегралом от функции ${\displaystyle \varphi \in L_{\infty }(X,E)}$ по спектральной мере ${\displaystyle E}$ называется значение продолженного отображения ${\displaystyle {\textbf {J}}}$ на функции ${\displaystyle \varphi :J_{\varphi }=\int \varphi dE=u}$-${\displaystyle \lim J_{\varphi _{n}}}$, где ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$ - произвольная последовательность простых функций, сходящаяся к ${\displaystyle \varphi }$ по норме в ${\displaystyle L_{\infty }(X,E)}$.

Теорема. Отображение ${\displaystyle {\textbf {J}}}$ есть изометрический изоморфизм банаховой алгебры ${\displaystyle L_{\infty }(X,E)}$ с единицей ${\displaystyle {\textbf {1}}}$ и инволюцией ${\displaystyle \varphi \longrightarrow {\bar {\varphi }}}$ на некоторую коммутативную подалгебру алгебры ${\displaystyle {\textbf {B}}(H)}$ с единицей ${\displaystyle I}$ и инволюцией ${\displaystyle T\longrightarrow T^{*}}$.

Следствия:

1. Оператор ${\displaystyle J_{\varphi }}$ нормален.
2. Оператор ${\displaystyle J_{\varphi }}$ самосопряжен ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle E}$-п.в. функция ${\displaystyle \varphi }$ вещественна.
3. Оператор ${\displaystyle J_{\varphi }}$ унитарен${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle E}$-п.в. функция ${\displaystyle |\varphi (y)|=1}$.

Для интеграла по спектральной мере имеет место аналог теоремы Лебега о мажорированной сходимости:

Теорема. Пусть последовательность ${\displaystyle E}$-ограниченных функций ${\displaystyle f_{n}}$ почти всюду сходится к функции ${\displaystyle f}$. Если найдется такая константа ${\displaystyle C>0}$, что ${\displaystyle |f_{n}|\leq C}$ почти всюду для любого ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle \int fdE=s{\text{-}}\lim \int f_{n}dE}$.

Случай неограниченной функции

${\displaystyle S(X,E)}$ - пространство всех ${\displaystyle E}$-измеримых, ${\displaystyle E}$-п.в. конечных функций на ${\displaystyle X}$.

Каждой функции ${\displaystyle \varphi \in S(X,E)}$ и каждому ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ сопоставим срезку ${\displaystyle \varphi _{(n)}}$, определенную как ${\displaystyle \chi _{A}\varphi }$, где ${\displaystyle \chi _{A}}$ - характеристическая функция множества ${\displaystyle A=\{x\in X:|\phi (x)|\leq n\}}$. Интегралом от ${\displaystyle \varphi \in S(X,E)}$ по спектральной мере ${\displaystyle E}$ назовем оператор ${\displaystyle J_{\varphi }=\int \varphi dE}$, определенный как предел последовательности ${\displaystyle \int \varphi _{(n)}dE}$. Более точно, областью определения оператора ${\displaystyle J_{\varphi }}$ служит множество таких ${\displaystyle x\in H}$, что последовательность ${\displaystyle J_{\varphi _{(n)}}(x)}$ сходится, а значением - предел этой последовательности.

Имеется эквивалентное определение: в качестве области определения оператора ${\displaystyle J_{\varphi }}$ положим множество ${\displaystyle D_{\varphi }\subset H,D_{\varphi }=\{f\in H:\int |\varphi |^{2}d\mu _{f}<\infty \}}$. Для каждого ${\displaystyle x\in D_{\varphi }}$ найдется единственный ${\displaystyle y\in H}$ удовлетворяющий равенству ${\displaystyle \langle y,z\rangle =\int \varphi dE_{x,z}}$ для всех ${\displaystyle z\in H}$, который по определению служит значением ${\displaystyle J_{\varphi }(x)}$.

Свойства:

1. ${\displaystyle D(\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi })=D_{\varphi }\cap D_{\psi }}$.
2. ${\displaystyle \alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }\subset J_{\alpha \varphi +\beta \psi }}$.
3. ${\displaystyle D(J_{\varphi }J_{\psi })=D_{\varphi \psi }\cap D_{\psi }}$.
4. ${\displaystyle J_{\varphi }J_{\psi }\subset J_{\varphi \psi }}$.
5. ${\displaystyle D(J_{\varphi }^{*})=D_{\varphi }}$.
6. ${\displaystyle J_{\varphi }^{*}=J_{\overline {\varphi }}}$.
7. Оператор ${\displaystyle J_{\varphi }}$ замкнут и нормален.
8. ${\displaystyle {\overline {\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }}}=J_{\alpha \varphi +\beta \psi }}$.
9. ${\displaystyle {\overline {J_{\varphi }J_{\psi }}}={\overline {J_{\psi }J_{\varphi }}}=J_{\varphi \psi }}$.

Спектральная теорема фон Неймана

Спектральная теорема для унитарного оператора

Теорема. Пусть ${\displaystyle V}$ - унитарный оператор в ${\displaystyle H}$, тогда существует единственная спектральная мера ${\displaystyle F=F_{V}}$ в ${\displaystyle H}$, определенная на борелевских подмножествах единичной окружности ${\displaystyle \mathbb {T} }$ такая, что ${\displaystyle V=\int _{\mathbb {T} }zdF(z)}$.

Спектральная теорема для самосопряжённого оператора

Теорема. Пусть ${\displaystyle A}$ - самосопряженный оператор в ${\displaystyle H}$, тогда существует единственная спектральная мера ${\displaystyle E=E_{A}}$ в ${\displaystyle H}$, определённая на борелевских подмножествах в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ такая, что ${\displaystyle A=\int _{\mathbb {R} }sdE(s)}$.

Спектральная теорема для нормального оператора

Теорема. Пусть ${\displaystyle T}$ - нормальный оператор в ${\displaystyle H}$, тогда существует единственная спектральная мера ${\displaystyle E=E_{T}}$ в ${\displaystyle H}$, определенная на борелевских подмножествах в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ такая, что ${\displaystyle T=\int _{\mathbb {C} }zdE(z)}$.

Применения к эволюционным уравнениям в гильбертовом пространстве

• Уравнение Шредингера: ${\displaystyle {\frac {du}{dt}}+iAu=0}$ с начальным условием ${\displaystyle u(0)=f}$, где ${\displaystyle A}$ - самосопряженный оператор. Решением будет ${\displaystyle u(t)=U(t)f}$, где ${\displaystyle U(t)=e^{-iAt}=\int e^{-ist}dE(s)}$, ${\displaystyle E=E_{A}}$ - спектральная мера оператора ${\displaystyle A}$.
• Параболическое уравнение: ${\displaystyle {\frac {du}{dt}}+Au=0}$ с начальным условием ${\displaystyle u(0)=f}$, где ${\displaystyle A}$ - самосопряженный положительный оператор. Решением будет ${\displaystyle u(t)=T(t)f}$, где ${\displaystyle T(t)=e^{-At}=\int e^{-st}dE(s)}$, ${\displaystyle E=E_{A}}$ - спектральная мера оператора ${\displaystyle A}$.

Литература

• М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.
• У. Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 443 с.

См. также

• Спектральная теорема