Спектральный радиус

Спектральный радиус — понятие в математике, определяемое для квадратной матрицы как максимум абсолютных значений её собственных значений^[1]. В более общем случае, спектральный радиус линейного ограниченного оператора — это точная верхняя граница абсолютных значений элементов его спектра. Спектральный радиус часто обозначается ρ(·).

Определение

Матрицы

Пусть λ₁, ..., λ_n являются собственными значениями матрицы A ∈ C^n×n. Спектральный радиус A определяется как

${\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}$

Спектральный радиус можно представить как точную нижнюю границу всех норм матрицы. Действительно, с одной стороны, ${\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}$ для каждой естественной нормы матрицы ${\displaystyle \|\cdot \|}$; а с другой стороны, формула Гельфанда утверждает, что ${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}$. Оба этих результата показаны ниже.

Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ для произвольных векторов ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$. Чтобы понять, почему, пусть ${\displaystyle r>1}$ будет произвольным, тогда рассмотрим матрицу

${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$.

Характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle C_{r}}$ — это ${\displaystyle \lambda ^{2}-1}$, поэтому его собственные значения равны ${\displaystyle \{-1,1\}}$ и, следовательно, ${\displaystyle \rho (C_{r})=1}$. Однако, ${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$. В результате,

${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.}$

В качестве иллюстрации формулы Гельфанда заметим, что ${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$ при ${\displaystyle k\to \infty }$, поскольку ${\displaystyle C_{r}^{k}=I}$, если ${\displaystyle k}$ — чётное, и ${\displaystyle C_{r}^{k}=C_{r}}$, если ${\displaystyle k}$ — нечётное.

Особым случаем, когда ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ для всех ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$, является ситуация, при которой ${\displaystyle A}$ — эрмитова матрица и ${\displaystyle \|\cdot \|}$ — евклидова норма. Это связано с тем, что любая эрмитова матрица является диагонализируемой унитарной матрицей, а унитарные матрицы сохраняют длину вектора. В результате,

${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U\mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.}$

Ограниченные линейные операторы

В контексте ограниченного линейного оператора A на банаховом пространстве собственные значения нужно заменить элементами спектра оператора, то есть значениями ${\displaystyle \lambda }$, для которых ${\displaystyle A-\lambda I}$ не является биективным. Обозначим спектр через

${\displaystyle \sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{не биективный}}\right\}}$.

Спектральный радиус определяется как точная верхняя грань величин элементов спектра:

${\displaystyle \rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |.}$

Формула Гельфанда, также известная как формула спектрального радиуса, справедлива и для ограниченных линейных операторов: пусть ${\displaystyle \|\cdot \|}$ обозначает норму оператора, тогда имеем

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Ограниченный оператор (на комплексном гильбертовом пространстве) называется спектралоидным оператором, если его спектральный радиус совпадает с числовым радиусом^[англ.]. Примером такого оператора является нормальный оператор.

Графы

Спектральный радиус конечного графа определяется как спектральный радиус его матрицы смежности.

Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (то есть существует некоторое вещественное число C такое, что степень каждой вершины графа меньше C). В этом случае, для графа G определяем:

${\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \$ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}

Пусть γ — оператор смежности G:

${\displaystyle {\begin{cases}\gamma$ :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}

Спектральный радиус G определяется как спектральный радиус ограниченного линейного оператора γ.

Верхние границы

Верхние границы спектрального радиуса матрицы

Следующее утверждение предоставляет простые, но полезные верхние границы на спектральный радиус матрицы

Утверждение. Пусть A ∈ C^n×n со спектральным радиусом ρ(A) и согласованной нормой матрицы ||⋅||. Тогда, для каждого целого ${\displaystyle k\geqslant 1}$:

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Доказательство

Пусть (v, λ) — пара собственного вектора и собственного значения для матрицы A. В силу субмультипликативности нормы матрицы получаем:

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.}$

Поскольку v ≠ 0, мы получаем

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$

и поэтому

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}},}$

что и требовалось доказать.

Верхние границы для спектрального радиуса графа

Существует множество верхних границ для спектрального радиуса графа в терминах его количества n вершин и количества m рёбер. Например, если

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$

где ${\displaystyle 3\leq k\leq n}$ является целым, тогда^[2]

${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}$

Последовательность степеней

Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости последовательности степеней матрицы, как показано в следующей теореме.

Теорема. Пусть A ∈ C^n×n со спектральным радиусом ρ(A). Тогда ρ(A) < 1 тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}$

С другой стороны, если ρ(A) > 1, то ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }$. Это утверждение верно для любой выбранной нормы матрицы в C^n×n.

Доказательство Допустим, что ${\displaystyle A^{k}}$ стремится к нулю, когда ${\displaystyle k}$ стремится к бесконечности. Мы покажем, что ρ(A) < 1. Пусть (v, λ) — пара собственного вектора и собственного значения для A. Так как A^kv = λ^kv, у нас есть следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}.\end{aligned}}}$

Поскольку v ≠ 0 по предположению, то должно выполняться следующее утверждение:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0,}$

из чего следует, что |λ| < 1. Поскольку это должно быть верным для любого собственного значения λ, мы можем сделать вывод, что ρ(A) < 1.

Теперь предположим, что радиус A меньше 1. Из теоремы о жордановой нормальной форме известно, что для всех A ∈ C^n×n, существуют V, J ∈ C^n×n, где V — невырожденная и J — блочная диагональная, такие что:

${\displaystyle A=VJV^{-1}}$

с

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

где

${\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}$

Легко заметить, что

${\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}$

и, поскольку J — блочно-диагональная,

${\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}.}$

Теперь стандартный результат k-ой степени блока Жордана размера ${\displaystyle m_{i}\times m_{i}}$ утверждает, что для ${\displaystyle k\geq m_{i}-1}$:

${\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}$

Таким образом, если ${\displaystyle \rho (A)<1}$, то для всех i верно ${\displaystyle |\lambda _{i}|<1}$. Следовательно, для всех i у нас есть:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}$,

из чего следует

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}$

Следовательно,

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0.}$

С другой стороны, если ${\displaystyle \rho (A)>1}$, то по крайней мере один элемент в J не остается ограниченным при увеличении k, что доказывает вторую часть утверждения.

Формула Гельфанда

Формула Гельфанда, названная в честь Израиля Гельфанда, предоставляет спектральный радиус как предел матричных норм.

Теорема

Для любой матричной нормы ||⋅||, у нас есть^[3]

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$.

Более того, в случае согласованной матричной нормы ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$ приближается к ${\displaystyle \rho (A)}$ сверху (действительно, в этом случае ${\displaystyle \rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$ для всех ${\displaystyle k}$).

Доказательство

Для любого ε > 0, определим две следующие матрицы:

${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$

Таким образом,

${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}$

Начнем с применения предыдущей теормы о пределах последовательностей степеней к A₊:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$

Это показывает существование N₊ ∈ N такого, что для всех k ≥ N₊,

${\displaystyle \left\|A_{+}^{k}\right\|<1.}$

Поэтому,

${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .}$

Аналогично, теорема о последовательностях степеней подразумевает, что ${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$ не ограничена и существует N₋ ∈ N такое, что для всех k ≥ N₋,

${\displaystyle \left\|A_{-}^{k}\right\|>1.}$

Следовательно,

${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .}$

Пусть N = max{N₊, N₋}. Тогда,

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,}$

то есть,

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A),}$

что и требовалось доказать.

Следствие

Формула Гельфанда даёт оценку спектрального радиуса произведения коммутирующих матриц: если ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ — матрицы, все коммутирующие между собой, то

${\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}$

Числовой пример

Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}},}$

собственные значения которой равны 5, 10, 10; по определению, ρ(A) = 10. В следующей таблице приведены значения ${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$ для четырёх наиболее используемых норм в сравнении с несколькими возрастающими значениями k (обратите внимание, что из-за особой формы этой матрицы, ${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$):

k	${\displaystyle \|\cdot \|_{1}=\|\cdot \|_{\infty }}$	${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$	${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232