Список интегралов от экспоненциальных функций

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. В списке везде опущена константа интегрирования.

Неопределённые интегралы

${\displaystyle \int e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}}$

${\displaystyle \int a^{cx}\;dx={\frac {1}{c\ln a}}a^{cx},}$ для ${\displaystyle a>0,a\neq 1}$

${\displaystyle \int xe^{cx}\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)}$

${\displaystyle \int x^{2}e^{cx}\;dx=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)}$

${\displaystyle \int x^{n}e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}dx}$

${\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x}}=\ln |x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{i}}{i\cdot i!}}}$

${\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}dx}{x^{n-1}}}\right),}$ для ${\displaystyle n\neq 1}$

${\displaystyle \int e^{cx}\ln x\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)}$

${\displaystyle \int e^{cx}\sin bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)}$

${\displaystyle \int e^{cx}\cos bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)}$

${\displaystyle \int e^{cx}\sin ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;dx}$

${\displaystyle \int e^{cx}\cos ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;dx}$

${\displaystyle \int xe^{cx^{2}}\;dx={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}}$

${\displaystyle \int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}\;dx={\frac {1}{2}}(1+{\mbox{erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}),}$ где erf(…) — функция ошибок

Определённые интегралы

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm {d} x={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}}$ для ${\displaystyle a>0,\ b>0,\ a\neq b}$, что есть логарифмическое среднее

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)}$ (интеграл Гаусса)

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-bx}\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}}{4a}}\quad (a>0)}$

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }xe^{-a(x-b)^{2}}\,\mathrm {d} x=b{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)}$

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a^{3}}}\quad (a>0)}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)/a^{\frac {n+1}{2}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}&(n=2k,k\;{\text{целое}},a>0)\\{\frac {k!}{2a^{k+1}}}&(n=2k+1,k\;{\text{целое}},a>0)\end{cases}}}$ (!! — двойной факториал)

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,a>0)\\\end{cases}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}$ (${\displaystyle I_{0}}$ — модифицированная функция Бесселя первого рода)

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx=\Gamma (s)\zeta (s)}$ (Дзета-функция Римана)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}\,dx=\Gamma (s)\eta (s)}$ (Эта-функция Дирихле)

Библиография

Книги

• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (рус.). — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.
• Двайт Г. Б. Таблицы интегралов (рус.). — СПб.: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
• Zwillinger D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (англ.). — 31st ed. — 2002. — ISBN 1-58488-291-3.
• Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — 832 с. — 50 000 экз.
• Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.

Таблицы интегралов

• Интегралы на EqWorld
• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas

Вычисление интегралов

• The Integrator (на Wolfram Research)
• Империя Чисел
• Методы вычисления неопределённых интегралов