Сравнение топологий

Сравнение топологий — это понятие, позволяющее «сравнивать» различные топологические структуры на одном и том же множестве. Множество всех топологий на фиксированном множестве образует частично упорядоченное множество относительно этого отношения.

Определение

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ — две топологии на множестве ${\displaystyle X,}$ такие что ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ содержится в ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}:}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}.}$

Это значит, что каждое открытое множество первого топологического пространства является открытым множеством второго. В этом случае топология ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ называется более грубой (иногда — более слабой или меньшей), чем ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}.}$ Соответственно, топология ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ называется более тонкой (более сильной, большей). Некоторые авторы, особенно в учебниках по математическому анализу, употребляют термины «сильная топология» и «слабая топология» с противоположным значением.^[1]

Бинарное отношение ${\displaystyle \subseteq }$ задаёт структуру частичного порядка на множестве всех возможных топологий множества ${\displaystyle X.}$

Примеры

Наиболее тонкая топология на ${\displaystyle X}$ — дискретная топология, в которой все множества открыты. Соответственно, наиболее грубая топология — тривиальная (или антидискретная) топология.

Наиболее грубая топология на ${\displaystyle X,}$ относительно которой ${\displaystyle X}$ удовлетворяет аксиоме отделимости T₁, называется T₁-топологией. Такая топология всегда существует, её можно описать явно как топологию, замкнутые множества которой — это конечные множества, а также всё ${\displaystyle X.}$

Свойства

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ — две топологии на множестве ${\displaystyle X.}$ Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}}$
• Тождественное отображение ${\displaystyle {\text{id}}_{X}:(X,{\mathcal {T}}_{2})\to (X,{\mathcal {T}}_{1})}$ непрерывно.
• Тождественное отображение ${\displaystyle {\text{id}}_{X}:(X,{\mathcal {T}}_{1})\to (X,{\mathcal {T}}_{2})}$ является открытым отображением (или, эквивалентно, замкнутым отображением).

Также из определений немедленно следуют данные утверждения:

• Непрерывное отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ останется непрывным, если топологию на ${\displaystyle Y}$ заменить на более грубую (соответственно, топологию на ${\displaystyle X}$ — на более тонкую).
• Открытое отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ останется открытым, если топологию на ${\displaystyle Y}$ заменить на более тонкую (соответственно, топологию на ${\displaystyle X}$ — на более грубую). Аналогичное утверждение верно для замкнутых отображений.

Решётка топологий

Множество топологий на ${\displaystyle X}$ образует полную решётку относительно отношения ${\displaystyle \subseteq .}$ Это значит, что произвольное семейство топологий имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань. Точная нижняя грань — это просто пересечение топологий. С другой стороны, объединение топологий не обязательно является топологией, и точная верхняя грань семейства топологий — это топология, для которой их объединение является предбазой.

Любая полная решётка является также ограниченной, в случае топологий этому соответствуют понятия дискретной и антидискретной топологии.