Среднее геометрическое

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}}$

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным^[1], поскольку среднее геометрическое ${\displaystyle g}$ двух чисел ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ обладает следующим свойством: ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{g}}={\frac {g}{a_{2}}}}$, то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.

Свойства

• Так же, как и любое другое среднее значение, среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:

${\displaystyle \operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

• Среднее геометрическое двух чисел ${\displaystyle a=A_{0},b=G_{0}}$ является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

${\displaystyle A_{i}={\frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2}},\quad G_{i}={\sqrt {A_{i-1}G_{i-1}}}.}$

• Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического^[2].
• Десятичный логарифм среднего геометрического нескольких чисел является средним арифметическим десятичных логарифмов этих чисел. Поскольку десятичный логарифм показывает порядок величины числа в десятичной системе, то среднее геометрическое является средним по порядку величины. Например, для чисел 2 (~${\displaystyle 10^{0}}$) и 9000 (~${\displaystyle 10^{4}}$) среднее арифметическое - 4501 ~ ${\displaystyle 10^{4}}$, среднее гармоническое - ${\displaystyle \approx }$4 ~ ${\displaystyle 10^{0}}$, а среднее геометрическое - ${\displaystyle \approx }$134 ~ ${\displaystyle 10^{2}}$.

Среднее геометрическое взвешенное

Основная статья: Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ с вещественными весами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ определяется как

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right).}$

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии

Среднее геометрическое отрезков:
${\displaystyle BH={\sqrt {AH\cdot HC}}={\sqrt {ab}}}$

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.

Обобщения

• Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных ${\displaystyle A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g}}{n}}}}$ при ${\displaystyle g\to 0}$.
• Среднее геометрическое является средним Колмогорова при ${\displaystyle \phi (x)=\log _{a}x}$.