Стодвадцатиячейник

Пра́вильный стодвадцатияче́йник, или просто стодвадцатияче́йник^[1] — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гекатоникосахор (от др.-греч. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцать» и χώρος — «место, пространство»), гипердодека́эдр (поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра), додекаплекс (то есть «комплекс додекаэдров»), полидодека́эдр. Двойственен шестисотячейнику.

Стодвадцатиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{5,3,3}
Ячеек	120
Граней	720
Рёбер	1200
Вершин	600
Вершинная фигура	Правильный тетраэдр
Двойственный политоп	Шестисотячейник

Развёртка

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов^[2]. Символ Шлефли стодвадцатиячейника — {5,3,3}.

Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника.

Описание

Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности ${\displaystyle 144^{\circ }.}$

Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.

В координатах

Стодвадцатиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:

• координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел ${\displaystyle (0;0;\pm 2;\pm 2);}$

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками ${\displaystyle (\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm {\sqrt {5}});}$

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками ${\displaystyle (\pm \Phi ^{-2};\pm \Phi$ ;\pm \Phi ;\pm \Phi ),} где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения;

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками ${\displaystyle (\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{2});}$

• координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками ${\displaystyle (0;\pm \Phi ^{-2};\pm 1;\pm \Phi ^{2});}$

• координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками ${\displaystyle (0;\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi$ ;\pm {\sqrt {5}});}

• координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками ${\displaystyle (\pm \Phi ^{-1};\pm 1;\pm \Phi$ ;\pm 2).}

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Проекция вращающегося стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство

Вид снаружи

Вид изнутри

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если стодвадцатиячейник имеет ребро длины ${\displaystyle a,}$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

${\displaystyle V_{4}={\frac {15}{4}}\left(105+47{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 787{,}8569810a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}=30\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 919{,}5742753a^{3}.}$

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}\right)a\approx 3{,}7024592a,}$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}\right)a\approx 3{,}6685425a,}$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\displaystyle \rho _{2}={\sqrt {{\frac {1}{10}}\left(65+29{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 3{,}6034146a,}$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

${\displaystyle r={\frac {1}{4}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 3{,}4270510a.}$