Теорема Слуцкого

Эта статья — о результате о сходимости случайных величин. О теореме Слуцкого об эргодичности см. Условие Слуцкого.

Теоре́ма Слу́цкого^[1] — утверждение теории вероятностей, связывает сходимость по вероятности и сходимость по распределению случайных величин. Установлена Евгением Слуцким в 1925 году^[2], но иногда в западной литературе результат относят к Харальду Крамеру (теорема Крамера о сходимости случайных величин).

В формулировке для вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и случайных величин ${\displaystyle X_{n},Y_{m}:\Omega \to \mathbb {R} }$ (${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$), если ${\displaystyle X_{n}}$ сходится по распределению к случайной ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ (${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$), а ${\displaystyle Y_{n}}$ сходится по вероятности к вещественной константе ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ (${\displaystyle Y_{m}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }c}$), то выполнено:

${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X+c}$,

${\displaystyle X_{n}\cdot Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}c\cdot X}$.

Таким образом, теорема обеспечивает возможность складывать и умножать сходящиеся по распределению и по мере случайные величины. Результат может быть обобщён до произвольной двухместной непрерывной функции: если (в предположениях классической теоремы) имеется непрерывная функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$, то:

${\displaystyle f(X_{n},Y_{n})\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}f(X,c)}$.

Теорема и обобщение могут быть рассмотрены как прямое следствие теоремы Манна — Вальда^[3].