Теорема Брауэра о неподвижной точке

Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

История

Приоритет в открытии теоремы принадлежит Пирсу Георгиевичу Болю: в своей работе 1904 года^[1] он сформулировал и доказал теорему эквивалентную теореме о неподвижной точке и описал применение этой теоремы к теории дифференциальных уравнений^[2]. Однако его результат не был замечен. В 1909 году Брауэр переоткрыл эту теорему для случая ${\displaystyle n=3}$.

Формулировка

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве ${\displaystyle B^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Пусть ${\displaystyle f\colon B^{n}\to B^{n}}$ — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка ${\displaystyle x\in B^{n}}$, что ${\displaystyle f(x)=x}$.

Доказательство

Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.

Пусть теперь ${\displaystyle f\colon B^{n}\to B^{n}}$ — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки ${\displaystyle x}$ рассмотрим прямую, проходящую через точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle f(x)}$ (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть ${\displaystyle y}$ — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем ${\displaystyle x}$ лежит между ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle y}$. Легко видеть, что отображение ${\displaystyle x\mapsto y}$ — ретракция шара на его границу. Противоречие.

Вариации и обобщения

• Теорема Какутани о неподвижной точке
• Теорема Шаудера о неподвижной точке^[англ.] является обобщением теоремы Брауэра на случай выпуклых компактов в банаховых пространствах.
• Теорема Шаудера — Тихонова является обобщением теоремы Шаудера на случай локально выпуклых топологических векторных пространств.
• Лемма Шпернера — комбинаторный аналог теоремы Брауэра.
• Теорема об инвариантности области — основанное на теореме утверждение что образ непрерывного инъективного отображения Евклидова пространства в себя открыт.

Следствия

• Теорема о причёсывании ежа
• Теорема Лефшеца