Теорема Вариньона (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Вариньона.

Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма:

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.

Красный четырёхугольник — параллелограмм

Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым^[1].

Следствия

• Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
• Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
• Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.
• Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.
• Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.
• Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны.
• Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны.

Доказательство

Доказательство, что площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника

Пусть диагональ ${\displaystyle AC}$ проходит внутри четырёхугольника. Тогда площадь треугольника ${\displaystyle ABC}$ равна ${\displaystyle {\frac {AC\cdot h_{b}}{2}}}$, где ${\displaystyle h_{b}}$ --- высота треугольника ${\displaystyle ABC}$, проведённая из вершины ${\displaystyle B}$. Аналогично, площадь треугольника ${\displaystyle ADC}$ равна ${\displaystyle {\frac {AC\cdot h_{d}}{2}}}$. Тогда площадь всего четырёхугольника равна ${\displaystyle {\frac {AC(h_{b}+h_{d})}{2}}}$. Но ${\displaystyle {\frac {(h_{b}+h_{d})}{2}}={\frac {h_{b}}{2}}+{\frac {h_{d}}{2}}}$ — это сумма расстояний до прямой ${\displaystyle AC}$ от точек ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle H}$, то есть в точности высота параллелограмма ${\displaystyle EHGF}$. А поскольку сторона ${\displaystyle GH}$ параллелограмма вдвое меньше ${\displaystyle AC}$, то и площадь параллелограмма равна половине площади ${\displaystyle ABCD}$, Q. E. D.^[2]

выпуклый четырёхугольник	невыпуклый четырёхугольник	самопересекающийся четырёхугольник

См. также

• Прямая Ньютона
• Теорема Ньютона (планиметрия)
• Четырехугольник