Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος — параллельный + γραμμή — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых^[1]. Существуют другие варианты определения➤.

Параллелограмм

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно)^[1]. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).

Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.

Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Стороны параллелограмма ${\displaystyle a,b}$ и опущенные на них высоты ${\displaystyle h_{a},h_{b}}$ соотносятся следующим образом:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {h_{b}}{h_{a}}}}$

Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2})}$,

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — длины смежных сторон, а ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ${\displaystyle \square ABCD}$ является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

• у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: ${\displaystyle AB=CD}$ и ${\displaystyle AB\parallel CD}$;
• все противоположные углы попарно равны: ${\displaystyle \angle A=\angle C}$ и ${\displaystyle \angle B=\angle D}$;
• у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: ${\displaystyle AB=CD}$ и ${\displaystyle BC=DA}$;
• все противоположные стороны попарно параллельны: ${\displaystyle AB\parallel CD}$ и ${\displaystyle BC\parallel DA}$;
• диагонали делятся в точке их пересечения пополам: ${\displaystyle AO=OC}$ и ${\displaystyle BO=OD}$, где ${\displaystyle O}$ — точка пересечения диагоналей;
• сумма средних линий выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: ${\displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}}$.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, выражение через высоту

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: ${\displaystyle S=bh}$, где ${\displaystyle b}$ — сторона, ${\displaystyle h}$ — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и синуса угла ${\displaystyle \alpha }$ между ними: ${\displaystyle S=ab\sin \alpha }$.

Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и длину любой из диагоналей ${\displaystyle d}$ по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников^[2]:

${\displaystyle S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}}$,

где ${\displaystyle p=(a+b+d)/2}$.