Теорема Вейля о равномерном распределении

Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка ${\displaystyle (0;1)}$.

Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году Германом Вейлем.^[1][2]

Определения

Пусть ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$ — бесконечная последовательность вещественных чисел из интервала ${\displaystyle (0;1)}$

Для чисел ${\displaystyle a,b\in (0;1),\ a<b}$ обозначим через ${\displaystyle \varphi _{n}(a,b)=\#\left\lbrace {k:1\leq k\leq n,\xi _{k}\in (a;b)}\right\rbrace }$ количество чисел из ${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}$, лежащих в отрезке ${\displaystyle (a;b)}$.

Определим предельное наибольшее отклонение как ${\displaystyle D_{\xi }=\lim \sup _{n\to \infty }{\left({{\frac {\varphi _{n}(a,b)}{n}}-(b-a)}\right)}}$.

Последовательность ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$ называется равномерно распределённой в ${\displaystyle (0;1)}$ если ${\displaystyle D_{\xi }=0}$. Иными словами, последовательность равномерно распределённа в ${\displaystyle (0;1)}$ если в любом ненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к доле размера отрезка в ${\displaystyle (0;1)}$.

Формулировка теоремы

Последовательность ${\displaystyle \left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)}$ равномерно распределена в ${\displaystyle (0;1)}$ тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману на отрезке ${\displaystyle (0;1)}$ функции ${\displaystyle f}$ выполняется тождество: ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}}=\int \limits _{0}^{1}{f(x)dx}}$

Доказательство

Очевидно, что утверждение о равномерной распределённости эквивалентно выполнению тождества для кусочно-постоянных функций вида ${\displaystyle f(x)=\left\lbrace {\begin{matrix}1,x\in (a;b)\\0,x\not \in (a;b)\end{matrix}}\right.}$. Это сразу обеспечивает следствие равномерности из выполнения тождества для всех функций.

Более того, в случае равномерной распределённости последовательности, с помощью композиции таких функций и соответствующих умножений (на константу) и сложений пределов и интегралов можно доказать выполнение тождества для любой кусочно-постоянной функции.

Так как любая интегрируемая по Риману функция ${\displaystyle f}$ может быть с точностью до величины интеграла ${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{1}{|f(x)-f_{1}(x)|dx}}$ аппроксимирована кусочно-постоянной функцией ${\displaystyle f_{1}}$ (причём такой, что ${\displaystyle \forall x:\ |f_{1}(x)-f(x)|<\varepsilon }$) для ${\displaystyle \varepsilon >0}$, то

${\displaystyle {\Bigg |}{\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}={\Bigg |}{\int _{0}^{1}{f_{1}(x)dx}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon }$

${\displaystyle \exists N:\ \forall n>N:\ {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<2\varepsilon }$

Так как по определению ${\displaystyle f_{1}}$ следует ${\displaystyle {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}}{\Bigg |}={\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{(f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k}))}}{\Bigg |}<{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{|f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k})}|<\varepsilon }$, то для достаточно больших ${\displaystyle n}$ будет выполнено

${\displaystyle {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon }$,

Так как в эти рассуждения можно подставить сколь угодно малое ${\displaystyle \varepsilon >0}$, то это и означает, что

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}}=\int _{0}^{1}{f(x)dx}}$

Следствия

Критерий с тригонометрическими суммами

Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределения с тригонометрическими суммами.^[2]

Последовательность ${\displaystyle \left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)}$ равномерно распределена в ${\displaystyle (0;1)}$ тогда и только тогда, когда для любого целого ${\displaystyle m\not =0}$ выполнено ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi m\xi _{k}i}}}=0}$

Доказательство последнего утверждения проводится аналогично доказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимации кусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммами ряда Фурье.

Константа ${\displaystyle 0}$ в формуле фактически является значением интеграла ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi mxi}dx}=0}$.

Дробные части от кратных иррациональным

Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы, легко вывести следующий результат:

Обозначим через ${\displaystyle \left\lbrace {x}\right\rbrace }$ дробную часть числа ${\displaystyle x}$ Если ${\displaystyle \xi \in {\mathbb {R} }}$ — иррациональное число, то последовательность ${\displaystyle \left\lbrace {\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {2\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {3\xi }\right\rbrace ,\dots ,\left\lbrace {n\xi }\right\rbrace ,\dots }$ равномерно распределена в ${\displaystyle (0;1)}$.

Доказательство

Для доказательства через критерий равномерности в тригонометрической форме достаточно оценить модуль тригонометрической суммы при иррациональном ${\displaystyle \xi _{k}=k\xi }$ и целом ${\displaystyle m\not =0}$. Для этого можно воспользоваться простейшей формулой суммы геометрической прогрессии.

${\displaystyle {\Bigg \vert }{\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi }}}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert }{\frac {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}{1-e^{2\pi m\xi }}}{\Bigg \vert }={\frac {\vert {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}\vert }{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}<{\frac {2}{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}}$

Так как величина ${\displaystyle \vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }$ не зависит от ${\displaystyle n}$, то при каждом отдельном фиксированном ${\displaystyle m\not =0}$ из неравенства выше следует

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi i}}}=0}$

Литература

• Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М.: Наука, 1985. — 408 с.
• Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.