Поле частных

Поле частных (называемое также полем отношений) в общей алгебре определяется для области целостности ${\displaystyle R}$ как наименьшее поле^[1][2], содержащее ${\displaystyle R}$. Поле частных для ${\displaystyle R}$ может обозначаться ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ или ${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$.

Элементы поля частных могут быть (однозначно) конструктивно построены из элементов ${\displaystyle R}$ как классы эквивалентности некоторого бинарного отношения (см. ниже).

Примеры

• Классическим примером области целостности является кольцо целых чисел; наименьшее расширение его до поля даёт поле рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• Возьмём в качестве ${\displaystyle R}$ кольцо гауссовых целых чисел вида ${\displaystyle a+bi,}$ где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ — обычные целые числа. Тогда ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$ — поле рациональных гауссовых чисел.
• Поле частных для любого поля изоморфно исходному полю.
• Пусть ${\displaystyle K}$ — поле. Тогда кольцо многочленов ${\displaystyle K[X]}$ с коэффициентами из этого поля всегда является областью целостности. Поле частных для ${\displaystyle K[X]}$ обозначается ${\displaystyle K(X)}$ и называется полем рациональных функций^[3].

Построение

Поле частных для области целостности ${\displaystyle R}$ строится так же, как поле рациональных чисел на основе кольца целых чисел^[4] (см. Рациональное число#Формальное определение). Рассмотрим множество упорядоченных пар элементов ${\displaystyle a,b\in R\ (b\neq 0)}$ и определим на нём отношение эквивалентности, как для дробей: пары ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (c,d)}$ эквивалентны, если ${\displaystyle ad=bc}$. Поле частных ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ определяется как совокупность классов эквивалентности (факторкольцо). Класс, содержащий пару ${\displaystyle (a,b)}$, по аналогии с обычными дробями обозначают как ${\displaystyle a/b}$ или ${\displaystyle {a \over b}}$.

Сумма ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ и ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ определяется, как для дробей: ${\displaystyle {\frac {ad+bc}{bd}}}$. Аналогично определяется умножение: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$. Несложно проверить^[4]:

• Результаты этих операций не зависят от выбора представителей в их классе эквивалентности;
• Сложение обратимо, то есть всегда возможно вычитание;
• Классы ${\displaystyle 0/1}$ и ${\displaystyle 1/1}$ играют роль нуля и единицы соответственно;
• Все аксиомы кольца выполнены.

Поэтому ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ — коммутативное кольцо. Оно содержит кольцо, изоморфное исходному кольцу ${\displaystyle R}$ — для доказательства сопоставим ${\displaystyle a\in R}$ класс, содержащий пару ${\displaystyle a/1}$.

Далее установим, что у каждого ненулевого класса ${\displaystyle {a \over b}}$ имеется обратный элемент ${\displaystyle {b \over a},}$ определённый однозначно (в этом месте доказательства используется отсутствие делителей нуля), и этот факт означает выполнимость деления. Таким образом, построенная структура ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ является полем.

Поле частных для заданной области целостности единственно с точностью до изоморфизма^[4].

Аналогичное построение может быть произведено для любого коммутативного кольца, результатом будет кольцо частных, которое, вообще говоря, не является полем — среди его элементов могут быть необратимые.

Свойства

Поле частных кольца ${\displaystyle R}$ удовлетворяет следующему универсальному свойству: если ${\displaystyle h:R\rightarrow F}$ — инъективный гомоморфизм колец из ${\displaystyle R}$ в поле ${\displaystyle F}$, то существует единственный гомоморфизм колец ${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\rightarrow F}$, который совпадает с ${\displaystyle h}$ на элементах ${\displaystyle R}$. Это универсальное свойство можно выразить такими словами: поле частных — это стандартный способ сделать элементы кольца обратимыми, соответственно, кольцо частных — это стандартный способ сделать некоторое подмножество элементов кольца обратимыми.

В терминах теории категорий конструкцию поля частных можно описать следующим образом. Рассмотрим категорию, объекты которой — области целостности, а морфизмы — инъективные гомоморфизмы колец. Существует забывающий функтор из категории полей в эту категорию (так как все гомоморфизмы полей инъективны). Оказывается, что у этого функтора существует левый сопряжённый, он и сопоставляет целостному кольцу его поле частных.