Теорема Гамильтона — Кэли

Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — классическая теорема линейной алгебры, утверждает, что любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

Формулировка

Если ${\displaystyle \ A}$ — квадратная матрица и ${\displaystyle \ c(\lambda )}$ её характеристический многочлен, то ${\displaystyle \ c(A)=0}$.

Следствия

• Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.

Вариации и обобщения

• характеристический многочлен матрицы делится без остатка на ее минимальный многочлен.

• характеристический многочлен матрицы имеет те же корни, что и ее минимальный многочлен, и кратностью не ниже.

• Пусть ${\displaystyle p_{A}(\lambda )}$ — характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle A}$, а матрица ${\displaystyle X}$ коммутирует с ${\displaystyle A}$. Тогда ${\displaystyle p_{A}(X)=M(A-X)}$, где ${\displaystyle M}$ — некоторая матрица, коммутирующая с ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle X}$^[1].

• Если в характеристическом многочлене ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{m})}$ заменить ${\displaystyle x^{z}}$ на ${\displaystyle A^{z}}$, то получим нулевую матрицу^[2].

См. также

• Минимальный многочлен матрицы
• Характеристический многочлен матрицы
• Аннулирующий многочлен
• Лямбда-матрица