Теорема Голода — Шафаревича

Теорема Голода-Шафаревича — теорема алгебры. Была сформулирована и доказана Е. С. Голодом и И. Р. Шафаревичем в 1964 г.^[1][2] Важными следствиями из неё являются отрицательный ответ на проблему Куроша (существует ниль-алгебра, не являющаяся локально нильпотентной)^[3], отрицательный ответ на общую проблему Бернсайда (существует периодическая группа, не являющаяся локально конечной)^[4].

Условия

Пусть ${\displaystyle T=F\left[x_{1},...,x_{d}\right]}$ — кольцо полиномов от некоммутирующих переменных ${\displaystyle x_{1},...,x_{d}}$ над произвольным полем ${\displaystyle F}$. Пусть ${\displaystyle T}$ является градуированной алгеброй благодаря определению на ней функции степени.

Представим ${\displaystyle T}$ в виде суммы подпространств ${\displaystyle T=T_{0}+T_{1}+\ldots +T_{n}+\ldots }$, где ${\displaystyle T_{0}=F}$, а ${\displaystyle T_{n}}$ имеет базис из ${\displaystyle d^{n}}$ элементов вида ${\displaystyle x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{n}}}$, где переменные ${\displaystyle x_{i_{j}}}$ выбираются из множества ${\displaystyle \left\{x_{1},...,x_{d}\right\}}$.

Назовем элементы пространства ${\displaystyle T_{n}}$ однородными элементами степени ${\displaystyle n}$.

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {U}}=(f_{1},f_{2},...)}$ — двусторонний идеал алгебры ${\displaystyle T}$, порождённый однородными элементами ${\displaystyle f_{1},f_{2},...}$ степеней ${\displaystyle n_{1},n_{2},...}$ соответственно. Упорядочим ${\displaystyle n_{1},n_{2},...}$ так, чтобы ${\displaystyle 2\leqslant n_{1}\leqslant n_{2}\leqslant \ldots }$. Число тех элементов ${\displaystyle f_{j}}$, степени которых равны ${\displaystyle i}$ обозначим как ${\displaystyle r_{i}}$.

Факторалгебра ${\displaystyle A=T/{\mathfrak {U}}}$ наследует градуировку из ${\displaystyle T}$ вследствие того, что идеал ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ порожден однородными элементами.

Факторалгебра может быть представлена в виде суммы ${\displaystyle A=A_{0}+A_{1}+\ldots +A_{n}+\ldots }$, где ${\displaystyle A_{i}\simeq T/{\mathfrak {U}}\cap T_{i}}$.

Пусть ${\displaystyle b_{n}=\dim _{F}A_{n}}$.

Формулировка

Алгебра ${\displaystyle A}$, описанная в условиях теоремы, обладает следующими свойствами:

1. ${\displaystyle b_{n}\geqslant db_{n-1}-\sum _{n_{i}\leqslant n}b_{n-n_{i}}}$ для всех ${\displaystyle n\geqslant 1}$.
2. Если для каждого ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{i}\leqslant \left({\frac {d-1}{2}}\right)^{2}}$, то ${\displaystyle A}$ бесконечномерна над ${\displaystyle F}$.

Доказательство

Доказательство теоремы занимает ${\displaystyle 4}$ страницы в книге ^[5]

См. также

• Проблема Бернсайда