Теорема Егорова

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка

Пусть дано пространство с конечной мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ так, что ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$, и определённая на нём последовательность измеримых функций ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, сходящаяся почти всюду к ${\displaystyle f}$. Тогда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует множество ${\displaystyle X_{\varepsilon }\subset X}$ такое, что ${\displaystyle \mu (X\setminus X_{\varepsilon })<\varepsilon }$, и последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ равномерно сходится к ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$.

В формальной записи:

${\displaystyle f_{n}\xrightarrow {\quad \ } ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{п.в.}}}f}$ на ${\displaystyle X\Rightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists X_{\varepsilon }\subset X:\mu X_{\varepsilon }<\varepsilon \ \wedge \ f_{n}\rightrightarrows f}$ на ${\displaystyle X\setminus X_{\varepsilon }.}$

Доказательство

Рассмотрим множество ${\displaystyle \textstyle {R_{n}\!\left({\frac {1}{k}}\right)}}$ всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle X}$, для которых хотя бы один член последовательности имеет номер, не меньший ${\displaystyle n}$, но в точке ${\displaystyle x}$ его разность с ${\displaystyle f(x)}$ по модулю больше ${\displaystyle \textstyle {{\frac {1}{k}}.}}$ Из свойства сходимости почти всюду следует, что предел при возрастающем ${\displaystyle n}$ меры этого множества равен нулю для любого натурального ${\displaystyle k.}$

Значит, по определению предела найдутся такие номера ${\displaystyle N_{k}}$, что мера ${\displaystyle \textstyle {R_{N_{k}}\!\!\left({\frac {1}{k}}\right)}}$ меньше ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2^{k}}}.}$ Выберем натуральное число ${\displaystyle \epsilon }$ так, что для него ${\displaystyle \textstyle {2^{\epsilon }>{\frac {2}{\varepsilon }}}.}$ Теперь возьмём ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ равным объединению множеств ${\displaystyle \textstyle {R_{N_{k}}\!\!\left({\frac {1}{k}}\right)}}$ по всем ${\displaystyle k}$, не меньшим ${\displaystyle \epsilon .}$ Тогда мера ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ в силу счётной аддитивности равна сумме мер множеств ${\displaystyle \textstyle {R_{N_{k}}\!\!\left({\frac {1}{k}}\right)}}$, так что верна оценка:

${\displaystyle \mu X_{\varepsilon }=\mu \left\{\bigcup _{k=\epsilon }^{\infty }R_{N_{k}}\!\left({\frac {1}{k}}\right)\right\}=\sum _{k=\epsilon }^{\infty }R_{N_{k}}\!\left({\frac {1}{k}}\right)<\sum _{k=\epsilon }^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}={\frac {1}{2^{\epsilon -1}}}<\varepsilon .}$

В то же время дополнение ${\displaystyle X\setminus X_{\varepsilon }}$ является множеством всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle X}$, которые не попали в ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$, то есть таких ${\displaystyle x}$, что для любого натурального ${\displaystyle k}$, не меньшего ${\displaystyle \epsilon }$, и члена последовательности с любым номером, не меньшим ${\displaystyle N_{k}}$, разность этого члена в точке ${\displaystyle x}$ с ${\displaystyle f(x)}$ по модулю не больше ${\displaystyle \textstyle {{\frac {1}{k}}.}}$ Значит, для любого положительного ${\displaystyle \delta }$ найдётся номер ${\displaystyle N_{k}}$, где натуральное ${\displaystyle k}$ одновременно больше как ${\displaystyle \epsilon }$, так и ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\delta }}}$, что во всех точках множества ${\displaystyle X\setminus X_{\varepsilon }}$ все следующие члены ряда по модулю отличаются от ${\displaystyle f}$ не больше, чем не ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{k}}}$, а в силу выбора ${\displaystyle k}$ меньше, чем на ${\displaystyle \delta .}$ Следовательно, ${\displaystyle f_{n}}$ равномерно сходится к ${\displaystyle f}$ на множестве ${\displaystyle X\setminus X_{\varepsilon }}$ по определению.

Замечания

• Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
• Конечность ${\displaystyle \mu (X)}$ принципиальна. Пусть, например, ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — борелева σ-алгебра на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а ${\displaystyle m}$ — мера Лебега. Заметим, что ${\displaystyle m(\mathbb {R} )=\infty }$. Пусть ${\displaystyle f_{n}(x)=\mathbf {1} _{[n,n+1]}(x),\;x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} }$, где ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ обозначает индикатор-функцию множества ${\displaystyle A}$. Тогда ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

Вариации и обобщения

• Теорема Егорова естественно обобщается на случай функций со значением в Банаховом пространстве.^[1]
• Теорема Лузина