Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее^[1]:

Если ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}}$ — различные алгебраические числа, линейно независимые над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}}$ являются алгебраически независимыми над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то есть, степень трансцендентности расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}})}$ равна ${\displaystyle n}$

Часто используется другая эквивалентная формулировка^[2]:

Для любых различных алгебраических чисел ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}}$ числа ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}}$ являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$.

История

В 1882 году Линдеман доказал, что ${\displaystyle e^{\alpha }}$ трансцендентно для любого ненулевого алгебраического ${\displaystyle \alpha }$^[3], а в 1885 году Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.

Доказательство трансцендентности π

Применим метод доказательства от противного. Предположим, число ${\displaystyle \pi }$ является алгебраическим. Тогда число ${\displaystyle i\pi }$, где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, также алгебраично, следовательно, по теореме Линдемана — Вейерштрасса число ${\displaystyle e^{i\pi }}$ трансцендентно, однако согласно тождеству Эйлера оно равно алгебраическому числу ${\displaystyle -1}$, что вызывает противоречие. Следовательно, число ${\displaystyle \pi }$ трансцендентно.