Теорема Нэша — Кёйпера

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Нэша.

Теорема Нэша — Кёйпера утверждает, что любое гладкое короткое вложение (или погружение) ${\displaystyle n}$-мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$ при ${\displaystyle q>n}$ можно аппроксимировать ${\displaystyle C^{1}}$-гладким изометрическим вложением (или соответственно погружением). Термин изометрическое вложение/погружение здесь означает соответственно вложение/погружение, которое сохраняет длины кривых.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ есть Риманово многообразие и ${\displaystyle f\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q}}$ есть короткое ${\displaystyle C^{\infty }}$-гладкое вложение (или погружение) в Евклидово пространство ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{q}}$ и ${\displaystyle q>n}$. Тогда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует вложение (или соответственно погружение) ${\displaystyle f_{\varepsilon }\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q}}$ такое, что

1. ${\displaystyle f_{\varepsilon }}$ является ${\displaystyle C^{1}}$-гладким,
2. (изометричность) для любых двух касательных векторов ${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$ в касательном пространстве точки ${\displaystyle x\in M}$ мы имеем:

${\displaystyle g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .}$

1. (${\displaystyle C^{0}}$-близость) ${\displaystyle |f(x)-f_{\varepsilon }(x)|<\varepsilon }$ для всех ${\displaystyle x\in M}$.

Замечания

Этот результат является весьма контринтуитивным. В частности из него следует что любая замкнутая ориентированная поверхность может быть изометрично ${\displaystyle C^{1}}$-вложена в произвольно малый трёхмерный шар. Из формулы Гаусса следует, что такое вложение невозможно в классе ${\displaystyle C^{2}}$-вложений.

Система уравнений определяющая изометричное вложение имеет ${\displaystyle q}$ неизвестных — это координатные функции ${\displaystyle f_{\varepsilon }}$ и зависят от ${\displaystyle n{\cdot }(n+1)/2}$ компонент метрического тензора. Таким образом система является переопределеной при ${\displaystyle q<n{\cdot }(n+1)/2}$. Тем не менее согласно теореме, она имеет решение.

История

Теорема была доказана Нэшем в предположении ${\displaystyle q>n+1}$ вместо ${\displaystyle q>n}$ и приведена к настоящему виду Кёйпером; он заменил одну конструкцию (скучивание Нэша) на более сложную, оставив основную часть доказательства без изменений.

Вариации обобщения

• Теорема Нэша о регулярных вложениях
• Теорема Громова о складках утверждает, что для любого короткого отображения из ${\displaystyle n}$-мерного риманова многообразия в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ существует сколь угодно близкое (негладкое) отображение, сохраняющее длины кривых.

Литература

• Н. Х. Кёйпер. О C¹-изометрических вложениях (рус.) // Математика. — 1957. — Т. 1, № 2. — С. 17—28.

• Дж. Нэш. C¹-изометрические вложения (рус.) // Математика. — 1957. — Т. 1, № 2. — С. 3—16.