Теорема Пикара (комплексный анализ)

Теорема Пикара — одна из двух тесно связанных между собой теорем теории функций комплексного переменного (называемые большая и малая). Названы в честь Шарля Пикара.

Малая теорема Пикара

Областью значений целой функции, отличной от константы, является вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, лишь одной точки.

Большая теорема Пикара

Пусть функция ${\displaystyle f}$ голоморфна в проколотой окрестности ${\displaystyle U(z_{0})}$ точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ и имеет в точке ${\displaystyle z_{0}}$ существенную особенность. Тогда ${\displaystyle f}$ принимает в ${\displaystyle U(z_{0})}$ все значения, кроме, быть может, одного, бесконечное число раз.

Примечания

• Фактически, малая теорема Пикара является следствием большой, так как, по теореме Лиувилля, целая функция либо является многочленом, либо имеет на бесконечности существенную особенность.
• Большая теорема Пикара допускает обобщение на случай мероморфных функций. Пусть ${\displaystyle M}$ — риманова поверхность, ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\mathbb {C} }$ — сфера Римана, ${\displaystyle f\colon M\setminus {w}\to \mathbf {P} ^{1}\mathbb {C} }$ — голоморфная функция, имеющая в точке ${\displaystyle w}$ существенную особенность. Тогда в любой окрестности ${\displaystyle U(w)\subset M}$ точки ${\displaystyle w}$ функция ${\displaystyle f}$ принимает почти все значения на ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\mathbb {C} }$, за исключением не более чем двух.

Например, мероморфная функция

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1-\exp {1/z}}}}$

имеет существенную особенность в точке ${\displaystyle z=0}$ и достигает ${\displaystyle \infty }$ в любой окрестности ${\displaystyle U(0)}$, но нигде не равна 0 или 1.

• Большая теорема Пикара является в некотором смысле обобщением теоремы Сохоцкого. При доказательстве используется неравенство Шоттки.

Литература

• Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, — М.: Физматкнига, 2003. — М., Издательство МФТИ, 2003. — 203 с — ISBN 5-89155-115-9
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, — СПб.: Лань, 2004. — 336 с — ISBN 5-8114-0568-5 (ISBN 5-8114-0567-7)
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — М., 1977.