Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

График функции комплексного переменного e^1/z.
Центрирован относительно существенно особой точки z = 0.
Цвет отражает аргумент, а яркость — модуль значения функции.

Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперёд заданному комплексному числу^[1].

История

Была опубликована Ю. В. Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации^{[K 1]}; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек)^[2].

Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных»^{[K 2]}. Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций»^{[K 3][3]}. Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций^{[K 4][1]}.

Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим^[2]; в литературе на европейских языках теорема известна как теорема Казорати — Вейерштрасса.

Формулировка

Каково бы ни было ${\displaystyle \varepsilon >0}$, в любой окрестности существенно особой точки ${\displaystyle z_{0}}$ функции ${\displaystyle f(z)}$ найдётся хотя бы одна точка ${\displaystyle z_{1}}$, в которой значение функции ${\displaystyle f(z)}$ отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на ${\displaystyle \varepsilon }$.

Доказательство

Предположим, что теорема неверна, т.е.

${\displaystyle \exists B\in \mathbb {C} \qquad \exists \varepsilon >0\qquad \exists \eta _{0}>0:\qquad \forall z:|z-z_{0}|<\eta _{0}}$

${\displaystyle |f(z)-B|>\varepsilon }$

Рассмотрим вспомогательную функцию ${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{f(z)-B}}}$. В силу нашего предположения функция ${\displaystyle \psi (z)}$ определена и ограничена в ${\displaystyle \eta _{0}}$-окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$. Следовательно ${\displaystyle z_{0}}$ - устранимая особая точка ${\displaystyle \psi (z)}$^[4]. Это означает, что разложение функции ${\displaystyle \psi (z)}$ в окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$ имеет вид:

${\displaystyle \psi (z)=(z-z_{0})^{m}{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)\qquad {\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)\neq 0}$.

Тогда, в силу определения функции ${\displaystyle \psi (z)}$, в данной окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$ имеет место следующее разложение функции ${\displaystyle f(z)}$:

${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{-m}\varphi (z)+B}$,

где аналитическая функция ${\displaystyle \varphi (z)={\frac {1}{{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)}}}$ ограничена в ${\displaystyle \eta _{0}}$-окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$. Но такое разложение означает, что точка ${\displaystyle z_{0}}$ является полюсом или правильной точкой функции ${\displaystyle f(z)}$, и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.

Эквивалентным образом эта теорема может быть переформулирована следующим образом:

• Если точка ${\displaystyle z_{0}}$ является существенно особой для функции ${\displaystyle f(z)}$, аналитической в некоторой проколотой окрестности ${\displaystyle U=\{z:\,0<|z-z_{0}|<\varepsilon \}}$, то для произвольного комплексного числа ${\displaystyle w}$ можно найти последовательность ${\displaystyle \{z_{n}\}\subset U}$, сходящуюся к ${\displaystyle z_{0}}$, для которой ${\displaystyle \{f(z_{n})\}\to w}$.
• множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Обобщения

Теорему Сохоцкого обобщает Большая теорема Пикара, которая утверждает, что аналитическая функция в окрестности существенно особой точки принимает все значения кроме, быть может, одного значения.

Комментарии

1. Теория интегральных вычетов с некоторыми приложениями. — СПб., 1868.
2. Сasorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. — Pavia, 1868.
3. Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, В. — P. 77-124.
4. С. Вriot, I. Bouquet. Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques. — 1859.