Теорема Пуанкаре о векторном поле

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пуанкаре.

Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа.

Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать.

Формулировка

Пусть на гладком замкнутом многообразии ${\displaystyle M}$ определено гладкое векторное поле ${\displaystyle V}$, имеющее конечное число изолированных особых точек ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$. Тогда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}J_{A_{i}}(V)=\chi (M),}$

здесь ${\displaystyle J_{A_{i}}(V)}$ — индекс точки ${\displaystyle A_{i}}$ относительно поля ${\displaystyle V}$ и число ${\displaystyle \chi (M)}$ — эйлерова характеристика многообразия ${\displaystyle M}$.

История

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году^[1].

Вариации и обобщения

• Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностями^[2][3].