Теорема Стюарта

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Симсона.

Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Рис. 1

Она утверждает, что если точка ${\displaystyle D}$ лежит на стороне ${\displaystyle BC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, то

${\displaystyle AD^{2}=p^{2}=b^{2}{\frac {x}{a}}+c^{2}{\frac {y}{a}}-{xy},}$

где ${\displaystyle y=CD}$, ${\displaystyle x=BD}$ и ${\displaystyle a=x+y=BC}$ (рис. 1). Отрезок AD называется чевианой треугольника ABC.

Доказательства

Через произведение векторов

Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения^[1]. Представим вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {AD}},}$ длина которого искома, двумя способами:

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}},\quad {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CD}}.}$

Первое уравнение домножим на длину ${\displaystyle CD}$, а второе — на ${\displaystyle BD\colon }$

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}\cdot CD={\overrightarrow {AB}}\cdot CD+{\overrightarrow {BD}}\cdot CD,}$

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}\cdot BD={\overrightarrow {AC}}\cdot BD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD.}$

Теперь сложим полученные уравнения:

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}\cdot BC=({\overrightarrow {AB}}\cdot CD~{\color {Red}+~{\overrightarrow {BD}}\cdot CD})+({\overrightarrow {AC}}\cdot BD~{\color {Red}+~{\overrightarrow {CD}}\cdot BD}),}$

где ${\displaystyle {\overrightarrow {BD}}\cdot CD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD=0,}$ так как ${\displaystyle {\overrightarrow {BD}}\cdot CD}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {CD}}\cdot BD}$ имеют равные длины и противоположны. Следовательно, сам вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}}$ равен

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}{\frac {CD}{BC}}+{\overrightarrow {AC}}{\frac {BD}{BC}}.}$

Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}}$ на самого себя:

${\displaystyle \left({\overrightarrow {AD}}\right)^{2}=\left({\overrightarrow {AB}}\right)^{2}\left({\frac {CD}{BC}}\right)^{2}+\left({\overrightarrow {AC}}\right)^{2}\left({\frac {BD}{BC}}\right)^{2}+{\color {Green}2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}\cdot {\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}}.}$

Далее, чтобы выразить ${\displaystyle 2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}$ через длины, нужно найти ${\displaystyle ({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})^{2}\colon }$

${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}},}$

${\displaystyle BC^{2}=AC^{2}-2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+AB^{2},}$

${\displaystyle 2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}.}$

Отсюда окончательно получается, что

${\displaystyle AD^{2}=AB^{2}{\frac {CD^{2}}{BC^{2}}}+AC^{2}{\frac {BD^{2}}{BC^{2}}}+({\color {Green}AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}){\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}},}$

${\displaystyle AD^{2}=AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-CD\cdot BD.}$

Через теорему косинусов

Выразим AB и AC через остальные стороны треугольников ABD и ACD и через углы ${\displaystyle \angle ADB}$ и ${\displaystyle \angle ADC,}$ смежные друг другу:

${\displaystyle AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB,}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}AC^{2}&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Green}-}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Green}C}=\\&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Green}+}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Green}B}.\\\end{alignedat}}}$

Умножим первое уравнение на ${\displaystyle DC}$, а второе — на ${\displaystyle BD\colon }$

${\displaystyle {\begin{cases}AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB,\\AC^{2}BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB,\end{cases}}}$

Чтобы избавиться от косинуса угла ABD, сложим эти равенства:

${\displaystyle AB^{2}DC+AC^{2}BD=(BD^{2}DC+AD^{2}DC)+(AD^{2}BD+DC^{2}BD),}$

${\displaystyle AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD=AD^{2}(DC+BD),}$

${\displaystyle AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)=AD^{2}(DC+BD),}$

${\displaystyle AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-BD\cdot CD=AD^{2}.}$

История

Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

Применение

• Теорему можно использовать для нахождения медиан и биссектрис треугольников, и частный случай теоремы Стюарта, когда чевиана вырождается в медиану, — это теорема Аполлония.
• Следствием теоремы Стюарта также является теорема Птолемея.^{[прояснить]}

Обобщение

• Теорема Стюарта обобщается до равенства Бретшнайдера для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует теорема Стюарта.