Теорема Шмидта

Теорема Шмидта - теорема о свойствах расширения локально конечной группы.

Формулировка

Расширение ${\displaystyle G}$ локально конечной группы ${\displaystyle A}$ посредством локально конечной группы ${\displaystyle G/A}$ само локально конечно.

Доказательство

Проверим, что каждое конечное множество ${\displaystyle M}$ из ${\displaystyle G}$ порождает конечную подгруппу. По условию факторгруппа ${\displaystyle gr(M,A)/A}$ конечна. Увеличив, если нужно, множество ${\displaystyle M}$, будем считать, что оно замкнуто относительно обратных элементов и содержит представители всех смежных классов ${\displaystyle gr(M,A)}$ по ${\displaystyle A}$. Тогда для любых ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle xy={\overline {xy}}a_{x,y}}$, где ${\displaystyle {\overline {xy}}\in M}$, ${\displaystyle a_{x,y}\in A}$. Отсюда следует, что любое произведение элементов из ${\displaystyle M}$ можно записать как произведение некоторого элемента из ${\displaystyle M}$ на произведение нектороых ${\displaystyle a_{x,y}}$. Так как всевозможные ${\displaystyle a_{x,y}}$ порждают конечную подгруппу, то всё доказано.

Литература

• Каргаполов, М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М. : Наука, 1972. — С. 208.