Локально конечная группа

В математике, в области теории групп, локально конечная группа — это группа, определенным образом (как индуктивный предел) конструирующаяся из конечных групп. Как и для конечных групп, для локально конечных групп изучаются подгруппы Силова, подгруппы Картера и т. п.

Определения

Чаще всего употребляются следующие определения:

Локально конечной группой называется группа, каждая конечно порожденная подгруппа которой является конечной.

Локально конечной группой называется группа, у которой каждое конечное подмножество содержится в конечной подгруппе.

Эти определения равносильны.

Примеры

Примеры:

• Конечная группа является локально конечной.
• Прямая сумма конечных групп является локально конечной^[1].
• Квазициклическая группа является локально конечной.
• Гамильтонова группа является локально конечной.
• Периодическая линейная группа является локально конечной^[2].
• Разрешимая периодическая группа является локально конечной^[3].

Свойства

Теорема Шмидта: класс локально конечных групп замкнут относительно взятия подгрупп, факторгрупп и расширений^[4].

У всякой группы единственная максимальная локально конечная подгруппа^[5].

Всякая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелеву подгруппу^[6].

Если локально-конечная группа содержит конечную максимальную p-подгруппу, то все её максимальные p-подгруппы сопряжены, причём если их количество конечно, то оно сравнимо с 1 по модулю p (см. также Теоремы Силова).

Если каждая счётная подгруппа локально конечной группы содержит не более чем счётное количество максимальных p-подгрупп, то все её максимальные p-подгруппы сопряжены^[4].

См. также

• Задача Бёрнсайда