Теорема Эренфеста

Теоре́ма Эренфе́ста (Уравнения Эренфеста) — утверждение о виде уравнений квантовой механики для средних значений наблюдаемых величин гамильтоновых систем. Эти уравнения впервые получены Паулем Эренфестом в 1927 году.

Формулировка теоремы^[1]:

В квантовой механике средние значения координат и импульсов частицы, а также силы, действующей на неё, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики, то есть при движении частицы средние значения этих величин в квантовой механике изменяются так, как изменяются значения этих величин в классической механике.

Полная аналогия имеет место только при условии выполнения ряда требований^[2][3].

Уравнение Эренфеста для среднего значения квантовой наблюдаемой гамильтоновой системы имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ,}$

где ${\displaystyle \ A}$ — квантовая наблюдаемая, ${\displaystyle \ H}$ — оператор Гамильтона системы, угловыми скобками обозначено взятие среднего значения, а квадратные скобки обозначают коммутатор. Это уравнение может быть выведено из уравнения Гейзенберга.

В частном случае, средние значения координаты ${\displaystyle \ q}$ и импульса ${\displaystyle \ p}$ частицы описываются уравнениями

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle q\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle ,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial q}}\right\rangle ,}$

где ${\displaystyle \ m}$ — масса частицы, ${\displaystyle \ U(q)}$ — оператор потенциальной энергии частицы.

Уравнения Эренфеста для средних координат и импульсов являются квантовыми аналогами системы канонических уравнений Гамильтона и задают квантовое обобщение второго закона Ньютона.