Теорема сравнения Рауха

Теорема сравнения Рауха — фундаментальный результат римановой геометрии. Доказана Раухом^[1].

Теорема утверждает, что в пространствах с большей секционной кривизной геодезические имеют тенденцию сходиться быстрее. Точная формулировка использует поля Якоби.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ суть римановы многообразия. Пусть ${\displaystyle \gamma \colon [0,T]\to M}$ и ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\colon [0,T]\to {\tilde {M}}}$ суть геодезические с единичной скоростью, такие, что ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}(0)}$ не имеет сопряженных точек вдоль ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$, и пусть ${\displaystyle J,{\tilde {J}}}$ — нормальные поля Якоби вдоль ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$, такие, что ${\displaystyle J(0)={\tilde {J}}(0)=0}$ и ${\displaystyle |J'(0)|=|{\tilde {J}}'(0)|}$. Предположим, что секционные кривизны ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ всюду удовлетворяют ${\displaystyle K(\Pi )\leqslant {\widetilde {K}}({\widetilde {\Pi }})}$, где ${\displaystyle \Pi \subset T_{\gamma (t)}M}$ — это 2-плоскость, содержащая ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, а ${\displaystyle {\tilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\tilde {M}}}$ — 2-плоскость, содержащая ${\displaystyle {\dot {\tilde {\gamma }}}(t)}$. Тогда ${\displaystyle |J(t)|\geqslant |{\tilde {J}}(t)|}$ для всех ${\displaystyle t\in [0,T]}$.

Следствия

Пусть ${\displaystyle M}$ — риманово многообразие, и геодезическая ${\displaystyle \gamma \colon [0,T]\to M}$ не имеет сопряжённых точек, тогда:

• Если ${\displaystyle M}$ имеет неотрицательную секционную кривизну, то для любого поля Якоби ${\displaystyle J}$ такого, что ${\displaystyle J(0)=0}$, имеем

  ${\displaystyle |J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.}$

• Если секционная кривизна ${\displaystyle M}$ не меньше 1, то

  ${\displaystyle |J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.}$

• Если секционная кривизна ${\displaystyle M}$ не больше −1, то

  ${\displaystyle |J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operatorname {sh} t|.}$

См. также

• Теорема сравнения Топоногова
• Теорема сравнения Штурма