Теорема сравнения Топоногова

Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.

В двумерном случае теорема была доказана Паоло Пиццетти^[1]. Однако его работа оставалась незамеченной целый век.^[2] Теорема была независимо передоказана Александром Даниловичем Александровым^[3] и обобщена Виктором Андреевичем Топоноговым^[4] на старшие размерности. Она послужила отправной точкой в развитии Александровской геометрии ограниченной снизу кривизны.

Вводные определения

Пусть ${\displaystyle M}$ — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы ${\displaystyle \kappa }$.

Обозначим через ${\displaystyle \mathbb {M} _{\kappa }}$ модельную плоскость кривизны ${\displaystyle \kappa }$. При ${\displaystyle \kappa =0}$ это евклидова плоскость, при ${\displaystyle \kappa >0}$, ${\displaystyle \mathbb {M} _{\kappa }}$ изометрично поверхности сферы радиуса ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {\kappa }}}}$ и при ${\displaystyle \kappa <0}$, ${\displaystyle \mathbb {M} _{\kappa }}$ есть плоскость Лобачевского кривизны ${\displaystyle \kappa }$.

Треугольником в ${\displaystyle M}$ называется тройка кратчайших соединяющие попарно три точки. При этом каждая из трёх точек называется вершиной треугольнка, а величина угла между парой исходящих из вершины кратчайших называется углом при этой вершине.

Пусть ${\displaystyle \triangle }$ есть треугольник в ${\displaystyle M}$. Предположим в ${\displaystyle \mathbb {M} _{\kappa }}$ существует треугольник ${\displaystyle {\tilde {\triangle }}_{\kappa }}$, с равными соответствующими сторонами и при этом такой треугольник ${\displaystyle {\tilde {\triangle }}_{\kappa }}$ является единственным с точностью до конгруэнтности. В этом случае треугольник ${\displaystyle {\tilde {\triangle }}_{\kappa }}$ называется модельным треугольником треугольника ${\displaystyle \triangle }$ в ${\displaystyle M}$.

Заметим, что модельный треугольник ${\displaystyle {\tilde {\triangle }}_{\kappa }}$ всегда определён в случае если ${\displaystyle \kappa \leqslant 0}$. В случае если ${\displaystyle \kappa >0}$, это верно если периметр ${\displaystyle \triangle }$ строго меньше ${\displaystyle 2\cdot \pi /{\sqrt {\kappa }}}$.

Пусть ${\displaystyle \triangle {\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}}$ в ${\displaystyle \mathbb {M} _{\kappa }}$ есть модельный треугольник ${\displaystyle \triangle xyz}$ в ${\displaystyle M}$. Определим модельный угол ${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }xyz}$ как угловую меру ${\displaystyle \measuredangle {\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}}$.

Формулировка

Теорема. Пусть ${\displaystyle M}$ — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы ${\displaystyle \kappa }$. Тогда углы любого треугольника ${\displaystyle \triangle }$ в M не меньше соответствующих углов его модельного треугольника ${\displaystyle {\tilde {\triangle }}_{\kappa }}$. Иначе говоря

${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }xyz\leqslant \measuredangle xyz}$

для любого треугольника ${\displaystyle \triangle xyz}$.

Следствия

• Предположим ${\displaystyle M}$ — полное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной. Тогда для любой точки ${\displaystyle p\in M}$, функция ${\displaystyle f(x)=|p-x|_{M}^{2}}$ является 2-вогнутой; то есть, для любой нормальной геодезической ${\displaystyle \gamma }$ функция ${\displaystyle t\mapsto f\circ \gamma (t)-t^{2}}$ является вогнутой.

Вариации и обобщения

• Обратная теорема также верна, то есть если сравнение углов верно для любого треугольника в римановом многообразии ${\displaystyle M}$ то ${\displaystyle M}$ имеет кривизну хотя бы ${\displaystyle \kappa }$.

• Для каждой точки ${\displaystyle x}$ на стороне треугольника ${\displaystyle \triangle }$, обозначим через ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ соответственную точку на стороне ${\displaystyle {\tilde {\triangle }}\kappa }$. Тогда утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства

  ${\displaystyle |{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {M} _{\kappa }}\leqslant |x-y|_{M}}$

где ${\displaystyle |x-y|_{M}}$ обозначает расстояние между точками ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в римановом многообразии ${\displaystyle M}$.

• Утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства

  ${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }xpy+{\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }ypz+{\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }zpx\leqslant 2\cdot \pi }$

для произвольной четвёрки точек ${\displaystyle p,x,y,z\in M}$

• Теорема Топоногова даёт полное описание метрических пространств, которые изометричны четырёточечным подмножествам полного риманова многообразия с неотрицательной кривизной.^[5]
  • Известно аналогичное описание пятиточечных подмножеств.^[6]

См. также

• Теорема сравнения Рауха