Теорема сравнения Штурма

Теорема сравнения Штурма — классическая теорема, дающая критерий неосцилляции решений некоторых линейных дифференциальных уравнений.

Названа в честь Жака Шарля Франсуа Штурма.^[1] Расширенная версия теоремы, сформулированная ниже, была получена Мауро Пиконе^[англ.].^[2]

Формулировка

Пусть p_i, q_i i = 1, 2, — вещественнозначные непрерывные функции на интервале [a, b] и пусть

1. ${\displaystyle (p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0}$
2. ${\displaystyle (p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0}$

— два однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженной форме с

${\displaystyle 0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)}$

и

${\displaystyle q_{2}(x)\geq q_{1}(x).}$

Пусть u — нетривиальное решение (1) с последовательными корнями в z₁ и z₂ и пусть v — нетривиальное решение (2). Тогда имеет место одно из следующих свойств:

• Существует x в (z₁, z₂) такие, что v(x) = 0; или же
• Решения u и v пропорциональны; то есть существует λ в R такое, что v(x) = λ u(x).

См. также

• Теорема сравнения Рауха — фундаментальный результат римановой геометрии получаемый применением теоремы сравнения Штурма.