Теорема об униформизации

Теорема об униформизации — обобщение теоремы Римана об отображении на двумерные римановы многообразия. Можно сказать, что теорема даёт наилучшую метрику в данном конформном классе.

Формулировка

Любая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна сфере Римана ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$, комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, либо открытому единичному диску ${\displaystyle \mathbb {D} =\{\,z\in \mathbb {C}$ :|z|<1\,\}} .

Следствия

• Любая риманова метрика на связном двумерном многообразии конформно эквивалентна полной метрике с постоянной кривизны.
  • Если многообразие замкнуто, то знак кривизны можно найти по его эйлеровой характеристике.
    • Если эйлерова характеристика положительна, то многообразие конформно эквивалентно сфере или проективной плоскости с канонической метрикой.
    • Если эйлерова характеристика равна нулю, то многообразие конформно эквивалентно плоскому тору или плоской бутылке Кляйна. При этом у тора и бутылки Кляйна существует 2-параметрическое семейство плоских метрик, не конформно эквивалентных друг другу.
    • Если эйлерова характеристика отрицательна, то многообразие конформно эквивалентно гиперболической поверхности.

Вариации и обобщения

• Теорема геометризации может рассматриваться как обобщения теоремы об униформизации на трёхмерные многообразия.

Литература

• Форд Л. P. Автоморфные функции. — пер. с англ. — М.— Л., 1936.
• Abikoff, William. The uniformization theorem (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1981. — Vol. 88, no. 8. — P. 574–592.