Тепловой шум

Тепловой шум (шум Джонсона — Найквиста, джонсоновский шум^[1] или найквистовский шум) — равновесный шум, обусловленный тепловым движением носителей заряда в проводнике, в результате чего на концах проводника возникает флуктуирующая разность потенциалов.

Эти три схемы полностью эквивалентны:
(A) резистор при ненулевой температуре, который имеет шум Джонсона,
(B) бесшумный резистор последовательно с создающим шум источником напряжения (то есть эквивалентная схема Тевенена),
(C) бесшумный резистор параллельно создающему шум источнику тока (то есть эквивалентная схема Нортона)

История

В 1926 году Джон Б. Джонсон впервые экспериментально установил закономерности этого вида шума в Bell Labs^[2]. Затем он описал своё открытие Гарри Найквисту, который смог объяснить полученные результаты^[3].

Возникновение

Тепловой шум возникает в любом проводнике электрического тока, обладающем активным сопротивлением, и связан с хаотичным движением подвижных носителей заряда, в результате которого на концах проводника появляются флуктуации напряжения. Реактивные сопротивления — ёмкости и индуктивности — не могут быть источниками теплового шума^[4].

В металлах из-за большой концентрации электронов проводимости и малой длины свободного пробега тепловая скорость электронов во много раз превосходит скорость направленного движения в электрическом поле (скорость дрейфа). Поэтому мощность теплового шума зависит только от температуры и полосы частот, в которой производится измерение, и не зависит от приложенного напряжения, тока и частоты.

Напряжение

Средний квадрат напряжения теплового шума зависит только от активного сопротивления проводника ${\displaystyle R}$ и абсолютной температуры проводника ${\displaystyle T}$ и может быть рассчитан по формуле Найквиста:

${\displaystyle {{\overline {e_{t}^{2}}}={4kT \over 2\pi }{\int _{w_{1}}^{w_{2}}{Re[Z(jw)]dw}\mid _{Z=R}}=4kTR{\mathcal {\Delta }}f},}$

где ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle {\mathcal {\Delta }}f}$ — полоса частот, в которой проводятся измерения.

Спектральная плотность мощности

Спектральная плотность электродвижущей силы шума^[5][6] (имеющая размерность В²·с):

${\displaystyle S_{f}=4kTR{\frac {hf}{kT}}\left(\exp {\frac {hf}{kT}}-1\right)^{-1},}$

где ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура проводника, ${\displaystyle R}$ — активное сопротивление проводника, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка, ${\displaystyle f}$ — частота.

В области частот, для которой выполняется неравенство ${\displaystyle {\frac {hf}{kT}}\ll 1}$, спектральную плотность можно считать постоянной и не зависящей от частоты:

${\displaystyle S_{f}={{\overline {e_{t}^{2}}} \over {{\mathcal {\Delta }}f}}=4kTR.}$

Поэтому тепловой шум можно рассматривать в широком диапазоне частот как белый шум вплоть до частоты порядка:

${\displaystyle f_{m}\approx kT/h.}$

При комнатной температуре (300 К):

${\displaystyle f_{m}\approx 6\cdot 10^{12}}$ Гц^[7].