Размерность Лебега

У этого термина существуют и другие значения, см. Размерность (значения).

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle \dim X}$.

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства ${\displaystyle X}$ размерность Лебега определяется как наименьшее целое число ${\displaystyle n}$, обладающее тем свойством, что при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует конечное открытое ${\displaystyle \varepsilon }$-покрытие ${\displaystyle X}$, имеющее кратность ${\displaystyle \leqslant n+1}$;

При этом

• ${\displaystyle \varepsilon }$-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр ${\displaystyle <\varepsilon }$, а
• кратностью конечного покрытия пространства ${\displaystyle X}$ называется наибольшее такое целое число ${\displaystyle k}$, что существует точка пространства ${\displaystyle X}$, содержащаяся в ${\displaystyle k}$ элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства ${\displaystyle X}$ размерностью Лебега называется наименьшее целое число ${\displaystyle n}$ такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства ${\displaystyle X}$ существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности ${\displaystyle n+1}$.

При этом покрытие ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ называется вписанным в покрытие ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$, если каждый элемент покрытия ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$.

Примеры

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
  • См. также нульмерное пространство.
• Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
  • См. также кривая Урысона

Свойства

• Неравенство

  ${\displaystyle \dim(X\times Y)\leqslant \dim X+\dim Y.}$

выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$:

• метризуемость,
• компактность,
• локальная компактность и паракомпактность.

Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается;^[1] это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.

• Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
  • Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства ${\displaystyle X}$ совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на ${\displaystyle X}$.
• Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство ${\displaystyle X}$ имеет размерность ${\displaystyle \dim X\leqslant n}$ тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ пространства ${\displaystyle X}$ существует вписанное покрытие ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, которое состоит из ${\displaystyle n+1}$ подсемейств ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots ,{\mathcal {V}}_{n+1}}$ таких, что каждое подсемейство ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{i}}$ состоит из непересекающиеся между собой множеств.

История

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность ${\displaystyle n}$-мерного куба равна ${\displaystyle n}$. Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта ${\displaystyle \dim X}$ (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.