Точка Брокара

Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника, возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах. Считаются замечательными точками треугольника, с их помощью строятся многие объекты геометрии треугольника (в том числе окружность Брокара, треугольник Брокара, окружность Нейберга).

Точка Брокара
Точка Брокара ${\displaystyle P}$ треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, построенная как точка пересечения трёх окружностей
Барицентрические координаты	${\displaystyle {\frac {ca}{b}}:{\frac {ab}{c}}:{\frac {bc}{a}}}$
Трилинейные координаты	${\displaystyle {\frac {c}{b}}:{\frac {a}{c}}:{\frac {b}{a}}}$
Код ЭЦТ	X(76)
Связанные точки
Изотомически сопряженная	точка Лемуана

Названы по имени французского метеоролога и геометра Анри Брокара, описавшего точки и их построение в 1875 году, однако были известны и ранее, в частности, были построены в одной из работ немецкого математика и архитектора Августа Крелле, изданной в 1816 году.

В энциклопедии центров треугольника первая точка Брокара идентифицируется как ${\displaystyle X(39)}$.

Определение

В треугольнике ${\displaystyle \triangle ABC}$ со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, и ${\displaystyle c}$, противолежащими вершинам ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ соответственно, имеется всего одна точка ${\displaystyle P}$ такая, что отрезки прямых ${\displaystyle AP}$, ${\displaystyle BP}$ и ${\displaystyle CP}$ образуют один и тот же угол ${\displaystyle \omega }$ со сторонами ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ соответственно: ${\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA}$. Точка ${\displaystyle P}$ называется первой точкой Брокара треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, а угол ${\displaystyle \omega }$ — углом Брокара треугольника.

Для угла Брокара ${\displaystyle \omega }$ выполняется следующее тождество: ${\displaystyle \mathrm {ctg} \,\omega =\mathrm {ctg} \,\angle BAC+\mathrm {ctg} \,\angle ABC+\mathrm {ctg} \,\angle ACB}$. Для угла Брокара ${\displaystyle \omega }$ выполняется следующее неравенство Йиффа: ${\displaystyle 8\omega ^{3}\leq \alpha \beta \gamma }$, где ${\displaystyle \alpha =\angle BAC,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle ACB}$ — углы искомого треугольника^[1].

В треугольнике ${\displaystyle \triangle ABC}$ имеется также вторая точка Брокара ${\displaystyle Q}$, такая, что отрезки прямых ${\displaystyle AQ}$, ${\displaystyle BQ}$ и ${\displaystyle CQ}$ образуют один и тот же угол со сторонами ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle a}$ соответственно: ${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$. Вторая точка Брокара изогонально сопряжена с первой точкой Брокара, то есть угол ${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$ равен углу ${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$.

Две точки Брокара тесно связаны друг с другом, различие между ними — в порядке, в котором нумеруются углы треугольника, так, например, первая точка Брокара треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ совпадает со второй точкой Брокара треугольника ${\displaystyle \triangle ACB}$.

Построение

Наиболее известное построение точек Брокара — на пересечении окружностей, строящихся следующим образом: для ${\displaystyle \triangle ABC}$ проводится окружность через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, касающаяся стороны ${\displaystyle BC}$ (центр этой окружности находится в точке, которая лежит на пересечении серединного перпендикуляра к стороне ${\displaystyle AB}$ с прямой, проходящей через ${\displaystyle B}$ и перпендикулярной ${\displaystyle BC}$); аналогичным образом строится окружность через точки ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ и касающуюся стороны ${\displaystyle AC}$; третья окружность — через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ и касающаяся стороны ${\displaystyle AB}$. Эти три окружности имеют общую точку пересечения, являющуюся первой точкой Брокара треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Вторая точка Брокара строится аналогично — строятся окружности: через ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, касающаяся ${\displaystyle AC}$; через ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, касающаяся ${\displaystyle AB}$; через ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$, касающаяся ${\displaystyle BC}$.

Свойства

Однородные трилинейные координаты для первой и второй точек Брокара есть ${\displaystyle c/b:a/c:b/a}$ и ${\displaystyle b/c:c/a:a/b}$ соответственно. Таким образом, их барицентрические координаты соответственно^[2] ${\displaystyle c^{2}a^{2}:a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}}$ и ${\displaystyle a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}:c^{2}a^{2}.}$

Точки Брокара лежат на окружности Брокара — окружности, диаметрально построенной на отрезке, соединяющем центр описанной окружности с точкой Лемуана. На ней также лежат вершины первых двух треугольников Брокара. Точки Брокара сопряжены изогонально.

Точка Брокара — одна из 2 точек внутри треугольника, чьи чевианы образуют равные углы с тремя его сторонами, измеренными в трёх его вершинах.

См. также

• Окружность Брокара
• Окружность Нойберга
• Окружности Схоуте
• Треугольник Брокара