Транзитивность (динамические системы)

В теории динамических систем, динамическая система ${\displaystyle (X,f)}$ называется (топологически) транзитивной, если у неё есть всюду плотная в фазовом пространстве орбита:

${\displaystyle \exists x:\quad {\overline {\{f^{n}(x)|n\in \mathbb {N} \}}}=X.}$

В случае обратимой динамической системы, замена ${\displaystyle \mathbb {N} }$ на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ приводит для случая фазового пространства без изолированных точек к эквивалентному определению.

Примеры

• Любая минимальная динамическая система транзитивна. В частности, транзитивен иррациональный поворот окружности.
• Отображение удвоения окружности ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1}$ не минимально (поскольку имеет неподвижную точку 0), но транзитивно.
• Линейный диффеоморфизм Аносова тора транзитивен.

Литература

• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 42. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.