Триакистетраэдр

Триакистетра́эдр (от др.-греч. τριάχις — «трижды», τέτταρες — «четыре» и ἕδρα — «грань»), также называемый тригон-тритетраэдром, — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому тетраэдру. Составлен из 12 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {7}{18}}\right)\approx 112{,}89^{\circ },}$ а два других ${\displaystyle \arccos \,{\frac {5}{6}}\approx 33{,}56^{\circ }.}$

Триакистетраэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	каталаново тело
Свойства	выпуклый, изоэдральный
Комбинаторика
Элементы	12 граней 18 рёбер 8 вершин Χ = 2
Грани	равнобедренные треугольники:
Конфигурация вершины	4(33) 4(36)
Конфигурация грани	V3.6.6
Двойственный многогранник	усечённый тетраэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	kT
Группа симметрии	Td (тетраэдрическая)
Медиафайлы на Викискладе

Имеет 8 вершин; в 4 вершинах (расположенных так же, как вершины правильного тетраэдра) сходятся своими острыми углами по 6 граней, в 4 вершинах (расположенных так же, как вершины другого правильного тетраэдра) сходятся тупыми углами по 3 грани.

У триакистетраэдра 18 рёбер — 6 «длинных» (расположенных так же, как рёбра правильного тетраэдра) и 12 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {7}{11}}\right)\approx 129{,}52^{\circ }.}$

Триакистетраэдр можно получить из правильного тетраэдра, приложив к каждой его грани правильную треугольную пирамиду с основанием, равным грани тетраэдра, и высотой, которая в ${\displaystyle {\frac {5{\sqrt {6}}}{2}}\approx 6{,}12}$ раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 3 грани вместо каждой из 4 граней исходного — с чем и связано его название.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра триакистетраэдра имеют длину ${\displaystyle a}$, то его «длинные» рёбра имеют длину ${\displaystyle {\frac {5}{3}}a\approx 1{,}67a,}$ а площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {5{\sqrt {11}}}{3}}a^{2}\approx 5{,}5277080a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {25{\sqrt {2}}}{36}}a^{3}\approx 0{,}9820928a^{3}.}$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

${\displaystyle r={\frac {5{\sqrt {22}}}{44}}a\approx 0{,}5330018a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

${\displaystyle \rho ={\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}a\approx 0{,}5892557a.}$

Описать около триакистетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Триакистетраэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.