Тригонометрические функции от матрицы

Тригонометрические функции от матрицы — обобщения тригонометрических функций для квадратных матриц.

Тригонометрические функции (особенно часто синус и косинус) от квадратных матриц возникают в решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка.^[1] Они определяются через те же ряды Тейлора, через которые определяются тригонометрические функции от вещественного или комплексного аргумента:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin X&=X-{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{5}}{5!}}-{\frac {X^{7}}{7!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}\\\cos X&=I-{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}-{\frac {X^{6}}{6!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}\end{aligned}}}$

где Xⁿ означает матрицу X в степени n, а I — единичную матрицу той же размерности.

Также тригонометрические функции матричного аргумента могут быть определены через матричную экспоненту с учётом матричного аналога формулы Эйлера e^iX = cos X + i sin X:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin X&={e^{iX}-e^{-iX} \over 2i}\\\cos X&={e^{iX}+e^{-iX} \over 2}.\end{aligned}}}$

Например, пусть X — стандартная матрица Паули:

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~,}$

Тогда

${\displaystyle \sin(\theta \sigma _{1})=\sin(\theta )~\sigma _{1},\qquad \cos(\theta \sigma _{1})=\cos(\theta )~I~,}$

Можно вычислить и кардинальный синус:

${\displaystyle \operatorname {sinc} (\theta \sigma _{1})=\operatorname {sinc} (\theta )~I.}$

Свойства

Справедлив матричный аналог основного тригонометрического тождества:^[2]

${\displaystyle \sin ^{2}X+\cos ^{2}X=1}$

Если X является диагональной матрицей, sin X и cos X также являются диагональными матрицами, причём (sin X)_nn = sin(X_nn) и (cos X)_nn = cos(X_nn), то есть синус и косинус диагональной матрицы могут быть вычислены путём вычисления соответственно синусов и косинусов элементов аргумента на главной диагонали.

Матричные аналоги формул синуса и косинуса суммы справедливы тогда и только тогда, когда матрицы коммутируют, то есть XY = YX:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm \cos X\sin Y\\\cos(X\pm Y)=\cos X\cos Y\mp \sin X\sin Y\end{aligned}}}$

Другие функции

Тангенс, обратные тригонометрические функции, гиперболические функции и обратные гиперболические функции так же могут быть определены и для матриц:^[3]

${\displaystyle \arcsin X=-i\ln \left(iX+{\sqrt {I-X^{2}}}\right)}$ (см. Обратные тригонометрические функции#Связь с натуральным логарифмом, Матричный логарифм, Квадратный корень из матрицы)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh X&={e^{X}-e^{-X} \over 2}\\\cosh X&={e^{X}+e^{-X} \over 2}\end{aligned}}}$

и так далее.