Квадратный корень из матрицы

Квадратный корень из матрицы — расширение понятия числового квадратного корня на кольцо квадратных матриц.

Определение

Матрица ${\displaystyle \mathbf {B} }$ называется квадратным корнем из матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$, если квадрат ${\displaystyle \mathbf {B} ,}$ то есть матричное произведение ${\displaystyle \mathbf {BB} ,}$ совпадает с матрицей ${\displaystyle \mathbf {A} .}$

Существование и однозначность

Не для всех матриц квадратный корень существует. Например, не имеет корня матрица ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&a\\0&0\end{smallmatrix}}\right),a\neq 0}$. Эта матрица также является делителем нуля и квадратным корнем из нуля. Таким образом, в кольце матриц нуль имеет бесконечно много квадратных корней.

В тех случаях, когда корень существует, он не всегда определён однозначно. Например, матрица ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)}$ имеет четыре корня: ${\displaystyle \pm \left({\begin{smallmatrix}1&4\\8&5\end{smallmatrix}}\right)}$ и ${\displaystyle \pm \left({\begin{smallmatrix}5&2\\4&7\end{smallmatrix}}\right)}$.

Единичная матрица ${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ имеет следующие 6 корней среди матриц, состоящих из ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle +1}$:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{matrix}}\right),\quad \left({\begin{matrix}\pm 1&0\\0&\mp 1\end{matrix}}\right),\quad \left({\begin{matrix}0&\pm 1\\\pm 1&0\end{matrix}}\right);}$

а также бесконечно много симметричных рациональных квадратных корней вида:

${\displaystyle {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&r\\r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&-r\\-r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}-s&r\\r&s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}-s&-r\\-r&s\end{matrix}}\right),}$

где ${\displaystyle (r,s,t)}$ — произвольная пифагорова тройка, то есть тройка натуральных чисел, для которых ${\displaystyle r^{2}+s^{2}=t^{2}}$.

Сложность извлечения корня из матрицы обусловлена тем, что кольцо матриц некоммутативно и имеет делители нуля, то есть не является областью целостности. В области целостности, например в кольце многочленов над полем, всякий элемент имеет не более двух квадратных корней.

Положительно определённые матрицы

Положительно определённая матрица всегда имеет ровно один положительно определённый корень, который называется арифметическим квадратным корнем^[1].

Всего же положительно определённая матрица ${\displaystyle A}$ порядка ${\displaystyle n}$ с различными собственными значениями имеет ${\displaystyle 2^{n}}$ корней. Разложив такую матрицу по собственным векторам, получим её представление в виде ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {VDV^{-1}} ,}$ где ${\displaystyle \mathbf {D} }$ — диагональная матрица с собственными значениями ${\displaystyle \lambda _{i}>0}$. Тогда квадратные корни из матрицы ${\displaystyle A}$ имеют вид ${\displaystyle \mathbf {VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}} ,}$ где ${\displaystyle \mathbf {D^{\frac {1}{2}}} }$ — диагональная матрица с элементами ${\displaystyle \pm {\sqrt {\lambda _{i}}}}$ на диагонали.

Литература

• Гантмахер Ф. Р.. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219.
• Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.