Трижды периодическая минимальная поверхность

Трижды периодическая минимальная поверхность (ТПМП, англ. triply periodic minimal surface, TPMS) — это минимальная поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, являющаяся инвариантом по переносам в решётке ранга 3.

Поверхность Шварца H

Эти поверхности имеют симметрии кристаллографической группы. Известны многочисленные примеры с кубическими, тетрагональными, гексагональными и ромбическими симметриями. Моноклинные и триклинные примеры определённо существуют, но было доказано, что их сложно параметризовать^[1].

ТПМП востребованы в естественных науках. ТПМП были обнаружены как биологические мембраны^[2], как блок-сополимеры^[3], эквипотенциальные поверхности в кристаллах ^[4] и др. Они также вызывают интерес в архитектуре, художественном оформлении и искусстве.

Свойства

Почти все изучавшиеся ТПМП не имели самопересечений (то есть были вложены в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) — с математической точки зрения они наиболее интересны (поскольку самопересекающихся поверхностей очевидным образом имеется в изобилии)^[5].

Все связные ТПМП имеют род ${\displaystyle \geqslant 3}$^[6] и в любой решётке существуют ориентированные вложенные ТПМП любого рода ${\displaystyle \geqslant 3}$^[7].

Вложенные ТПМП ориентируемы и делят пространство на два непересекающихся подобъёма (лабиринта). Если эти два лабиринта конгруэнтны, говорят, что поверхность является сбалансированной поверхностью^[8].

История

Поверхность Шварца P

Первыми примерами ТПМП были описанные Шварцем поверхности в 1865, за которыми последовала поверхность, описанная его студентом Э. Р. Неовиусом в 1883^[9][10].

В 1970 году Алан Шён выступил с 12 новыми ТПМП, основанными на скелетных схемах кристаллографических решёток^[11][12][13]. Хотя поверхности Шёна завоевали популярность в естественных науках, построения не получили математического доказательства существования и оставались большей частью неизвестными для математиков, пока в 1989 году Г. Керхер не доказал их существование^[14].

С помощью сопряжённых поверхностей было найдено много других поверхностей. Хотя представления Вейерштрасса известны для простых примеров, для большинства поверхностей они не известны. Вместо этого зачастую используются методы дискретной дифференциальной геометрии^[5].

Семейства

Классификация ТПМП является открытой проблемой.

ТПМП часто образуют семейства, и их можно непрерывно деформировать из одной в другую. Миикс нашёл семейство с 5 параметрами для ТПМП рода 3, которое содержит все известные примеры поверхностей рода 3, за исключением гироида^[6]. Члены этого семейства можно непрерывно деформировать одно в другое, при этом поверхность остаётся вложенной во время процесса деформации (хотя решётка может меняться). Гироид и лидиноид находятся в отдельном 1-параметрическом семействе^[15].

Другой подход классификации ТПМП заключается в рассмотрении их пространственных групп. Для поверхностей, содержащих прямые, можно перенумеровать возможные граничные многоугольники, обеспечивая тем самым классификацию^[8][16].

Обобщения

Периодические минимальные поверхности можно построить в S^3[17] и H^3[18].

Можно обобщить разбиение пространства на лабиринты, чтобы найти трижды периодические (возможно, ветвящиеся) минимальные поверхности, которые разбивают пространство более чем на две части^[19].

Квазипериодические^[англ.] минимальные поверхности были построены в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbf {S} ^{1}}$^[20]. Было высказано предположение, так и не доказанное, что минимальные поверхности с квазикристаллическим порядком существуют в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$^[21].

Галерея внешних изображений

• ТПМП галерея Кена Бракке
• ТПМП из Архива Мнимальных Поверхностей
• Трижды периодические сбалансированные минимальные поверхности с кубической симметрией
• Галерея минимальных периодических поверхностей
• 3-периодические минимальные поверхности без самопересечений