Квадрат Полибия

В криптографии квадрат Полибия (англ. Polybius square), также известный как шахматная доска Полибия — оригинальный код простой замены, одна из древнейших систем кодирования, предложенная Полибием (греческий историк, полководец, государственный деятель, III век до н. э.). Данный вид кодирования изначально применялся для греческого алфавита^[1], но затем был распространён на другие языки.

Способ шифрования

Несмотря на то, что квадрат изначально создавался для кодирования, с его помощью можно успешно шифровать. Для того, чтобы зашифровать текст квадратом Полибия, нужно сделать несколько шагов:

Шаг 1: Формирование таблицы шифрования^[2]

К каждому языку отдельно составляется таблица шифрования с одинаковым (не обязательно) количеством пронумерованных строк и столбцов, параметры которой зависят от его мощности (количества букв в алфавите). Берутся два целых числа, произведение которых ближе всего к количеству букв в языке — получаем нужное число строк и столбцов. Затем вписываем в таблицу все буквы алфавита подряд — по одной в каждую клетку. При нехватке клеток можно вписать в одну две буквы (редко употребляющиеся или схожие по употреблению).

Латинский алфавит

В современном латинском алфавите 26 букв, следовательно, таблица должна состоять из 5 строк и 5 столбцов, так как 25=5*5 — наиболее близкое к 26 число. При этом буквы I, J не различаются (J отождествляется с буквой I), так как не хватает 1 ячейки:

	1	2	3	4	5
1	A	B	C	D	E
2	F	G	H	I/J	K
3	L	M	N	O	P
4	Q	R	S	T	U
5	V	W	X	Y	Z

Русский алфавит^[3]

Идею формирования таблицы шифрования проиллюстрируем для русского языка. Число букв в русском алфавите отличается от числа букв в греческом алфавите, поэтому размер таблицы выбран другой (квадрат 6*6=36, поскольку 36 наиболее близкое число к 33):

	1	2	3	4	5	6
1	А	Б	В	Г	Д	Е
2	Ё	Ж	З	И	Й	К
3	Л	М	Н	О	П	Р
4	С	Т	У	Ф	Х	Ц
5	Ч	Ш	Щ	Ъ	Ы	Ь
6	Э	Ю	Я	-	-	-

Возможен также другой вариант составления, предусматривающий объединение букв Е и Ё, И и Й, Ъ и Ь. В данном случае получаем следующий результат:

	1	2	3	4	5	6
1	А	Б	В	Г	Д	Е/Ё
2	Ж	З	И/Й	К	Л	М
3	Н	О	П	Р	С	Т
4	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш
5	Щ	Ы	Ь/Ъ	Э	Ю	Я

Используя подобный алгоритм, таблицу шифрования можно задать для любого языка. Чтобы расшифровать закрытый текст, необходимо знать, таблицей шифрования какого алфавита он зашифрован.

Или есть такой вариант: Шифр «Квадрат Полибия».

«Квадрат Полибия» представляет собой квадрат 5x5, столбцы и строки которого нумеруются цифрами от 1 до 5. В каждую клетку этого квадрата записывается одна буква (в русском ^{[каком?]} алфавите 31 буква, Ъ и Ё исключены, кроме того в одну клетку поместите буквы е-э, и-й, ж-з, р-с, ф-х, ш-щ). Буквы расположены в алфавитном порядке. В результате каждой букве соответствует пара чисел, и шифрованное сообщение превращается в последовательность пар чисел. Расшифровывается путём нахождения буквы, стоящей на пересечении строки и столбца.

	1	2	3	4	5
1	А	Б	В	Г	Д
2	Е/Э	Ж/З	И/Й	К	Л
3	М	Н	О	П	Р/С
4	Т	У	Ф/Х	Ц	Ч
5	Ш/Щ	Ы	Ь	Ю	Я

Шаг 2: Принцип шифрования

Существует несколько методов шифрования с помощью квадрата Полибия. Ниже приведены три из них.

Метод 1

	1	2	3	4	5
1	A	B	C	D	E
2	F	G	H	I/J	K
3	L	M	N	O	P
4	Q	R	S	T	U
5	V	W	X	Y	Z

Зашифруем слово «sometext»:

Для шифрования на квадрате находили букву текста и вставляли в шифровку нижнюю от неё в том же столбце. Если буква была в нижней строке, то брали верхнюю из того же столбца.

Таблица координат

Буква текста:	S	O	M	E	T	E	X	T
Буква шифротекста :	X	T	R	K	Y	K	C	Y

Таким образом после шифрования получаем:

Результат

До шифрования:	SOMETEXT
После шифрования:	XTRKYKCY

Метод 2

	1	2	3	4	5
1	A	B	C	D	E
2	F	G	H	I/J	K
3	L	M	N	O	P
4	Q	R	S	T	U
5	V	W	X	Y	Z

Сообщение преобразуется в координаты по квадрату Полибия, координаты записываются вертикально:

Таблица координат

Буква:	S	O	M	E	T	E	X	T
Координата вертикальная:	3	4	2	5	4	5	3	4
Координата горизонтальная:	4	3	3	1	4	1	5	4

Затем координаты считывают по строкам:

34  25  45  34  43  31  41  54                                                                                                                   (*)

Далее координаты преобразуются в буквы по этому же квадрату:

Таблица координат

Координата вертикальная:	3	2	4	3	4	3	4	5
Координата горизонтальная:	4	5	5	4	3	1	1	4
Буква:	S	W	Y	S	O	C	D	U

Таким образом после шифрования получаем:

Результат

До шифрования:	SOMETEXT
После шифрования:	SWYSOCDU

Метод 3

	1	2	3	4	5
1	A	B	C	D	E
2	F	G	H	I/J	K
3	L	M	N	O	P
4	Q	R	S	T	U
5	V	W	X	Y	Z

Усложнённый вариант, который заключается в следующем: полученный первичный шифротекст (После второго метода шифрования, цифровой) шифруется вторично. При этом он выписывается без разбиения на пары:

3425453443314154	

Полученная последовательность цифр сдвигается циклически влево на один шаг (нечётное количество шагов, т.е. цифра 3 перемещается в конец):

4254534433141543

Эта последовательность вновь разбивается в группы по два:

42 54 53 44 33 14 15 43

и по таблице заменяется на окончательный шифротекст:

Таблица координат

Координата вертикальная:	4	5	5	4	3	1	1	4
Координата горизонтальная:	2	4	3	4	3	4	5	3
Буква:	I	U	P	T	N	Q	V	O

Таким образом после шифрования получаем:

Результат

До шифрования:	SOMETEXT
После шифрования:	IUPTNQVO

Добавление ключа[4]

На первый взгляд шифр кажется очень нестойким, но для его реальной оценки следует учитывать два фактора:

1. возможность заполнить квадрат Полибия буквами произвольно, а не только строго по алфавиту;
2. возможность периодически заменять квадраты.

Тогда анализ предыдущих сообщений ничего не даёт, так как к моменту раскрытия шифра он может быть заменён.

Буквы могут вписываться в таблицу в произвольном порядке — заполнение таблицы в этом случае и является ключом. Для латинского алфавита в первую клетку можно вписать одну из 25 букв, во вторую — одну из 24, в третью — одну из 23 и т. д. Получаем максимальное количество ключей для шифра на таблице латинского алфавита:

${\displaystyle N=25*24*23*...*2*1=25!\,(\approx 1,55\cdot 10^{25})}$

Соответственно для дешифрования сообщения потребуется не только знание алфавита, но и ключа, с помощью которого составлялась таблица шифрования. Но произвольный порядок букв тяжело запомнить, поэтому пользователю шифра необходимо постоянно иметь при себе ключ — квадрат. Появляется опасность тайного ознакомления с ключом посторонних лиц. В качестве компромиссного решения был предложен ключ — пароль. Пароль выписывается без повторов букв в квадрат; в оставшиеся клетки в алфавитном порядке выписываются буквы алфавита, отсутствующие в пароле.

Пример

Зашифруем слово «SOMETEXT», используя ключ «DRAFT». Составим предварительно таблицу шифрования с данным ключом, записывая символы ключа по порядку в таблицу, после них остальной алфавит:

	1	2	3	4	5
1	D	R	A	F	T
2	B	C	E	G	H
3	I	K	L	M	N
4	O	P	Q	S	U
5	V	W	X	Y	Z

Преобразуем сообщение в координаты по квадрату Полибия:

Таблица координат

Буква:	S	O	M	E	T	E	X	T
Координата вертикальная:	4	1	4	3	5	3	3	5
Координата горизонтальная:	4	4	3	2	1	2	5	1

Считаем координаты по строкам:

41 43 53 35 44 32 12 51

Преобразуем координаты в буквы по этому же квадрату:

Таблица координат

Координата вертикальная:	4	4	5	3	4	3	1	5
Координата горизонтальная:	1	3	3	5	4	2	2	1
Буква:	F	M	N	X	S	E	B	T

Таким образом после шифрования получаем:

Результат

До шифрования:	SOMETEXT
После шифрования:	FMNXSEBT

Историческая справка[5]

Ещё в далёкой древности у человека возникла необходимость передачи сигналов на расстояние. Для усиления голоса при подаче сигналов на охоте стали применять простейшие рупоры в виде рогов, раковин и др. Целями подачи служили тамтамы, барабаны и подобные им устройства, а чуть позже световые средства — факелы, костры. Даже эти примитивные предметы световой сигнализации позволили резко увеличить расстояние, на котором людям удавалось поддерживать связь.^[6]

С развитием общества возникла необходимость в передаче более разнообразных сигналов, в том числе сигналов, смысл которых не был обусловлен заранее. В книге Полибия описан способ^[7] применения водяных часов, так называемых клепсидр, в устройстве для дальней сигнализации. Клепсидры представляли собой сосуды с водой, на поверхности которой находились поплавки с вертикальными стойками на них. Вода из сосудов вытекала с постоянной скоростью, и длина видимой части стоек была обратно пропорциональна времени. Суть использования клепсидр для сигнализации состояла в том, что их вертикальные стойки имели однотипную разметку: вместо часовых делений на них были написаны в одинаковой последовательности различные слова, команды и т. п. По условному сигналу с передающего пункта обе клепсидры одновременно запускались, а по другому сигналу останавливались в тот момент, когда на стойках была видна надпись, которую нужно было передать. Так как клепсидры были довольно точными часами, то на передающем и на приёмном пунктах они показывали один и тот же сигнал. В этом способе связи дальность определялась условиями видимости сигналов, которые могли подаваться любыми другими известными тогда сигнальными средствами.

Это был, пожалуй, первый способ связи с использованием технических средств (клепсидр), основанный на применении принципа синхронизации приборов во времени.

Полибий описывает также и второй способ сигнализации, основанный на ином принципе, изобретение которого он связывает с именами Клеоксена и Демоклита из Александрии. По этому способу для сигнализации использовали факелы, которые выставляли на сигнальной стене. При этом существовал определенный код, составленный следующим образом. Греческий алфавит (24 буквы) разделяли на 5 групп таким образом, что каждая буква определялась номером группы и порядковым номером её в группе. Число факелов в левой части сигнальной стены означало номер группы, а число факелов в правой части стены — номер места в группе. Такой способ, хотя и требовал много времени на передачу каждого сигнала, однако давал возможность передавать буквенным текстом любое сообщение. Полибий, описывая этот способ, как раз приводил таблицу такого кода (таблица Полибия), которая рассматривается в статье, в дальнейшем нашедшую применение во многих системах сигнализации. Это, по-видимому, была одна из первых попыток использовать код (пятеричный двухразрядный) для передачи информации.

Интересно заметить, что в несколько изменённом виде код Полибия дошёл до наших дней и получил интересное название «тюремный шифр». Для его применения необходимо знать лишь естественный порядок расположения букв в алфавите (как в указанных выше примерах для латинского и русского алфавитов). Число 3, например, передавалось путём трёхкратного стука. При передаче буквы сперва отстукивалось число, соответствующее строке, в которой располагалась буква, а затем номер столбца. Например, буква «H» передавалась двукратным стуком (вторая строка) и затем трёхкратным (третий столбец). Доподлинно известно, что декабристы, посаженные в тюрьму после неудачного восстания 1825 года, не могли установить связь с находившимся в одиночной камере Петропавловской крепости князем Одоевским. Оказалось, что он не помнил естественный порядок расположения букв в русском и французском алфавитах (другими языками он не владел). Декабристы для русского алфавита использовали прямоугольник размера 5x6 и сжатый до 30 букв алфавит. Поэтому «Тюремный шифр», строго говоря, не шифр, а способ модификации сообщения с целью его приведения к виду, удобному для передачи по каналу связи (через стенку).

Устойчивость к криптоанализу[8]

Одним из методов атак является частотный анализ. Распределение букв в криптотексте сравнивается с распределением букв в алфавите исходного сообщения. Буквы с наибольшей частотой в криптотексте заменяются на букву с наибольшей частотой из алфавита, если он известен. Вероятность успешного вскрытия повышается с увеличением длины криптотекста, поскольку распределения статистические. Существуют множество различных таблиц о распределении букв в том или ином языке, но ни одна из них не содержит окончательной информации — даже порядок букв может отличаться в различных таблицах. Распределение очень сильно зависит от типа текста: проза, разговорный язык, технический язык и т. п. Квадрат Полибия является примером шифра замены, поэтому неустойчив к частотной атаке.

Известнейшим примером неустойчивости шифра замены к частотной атаке является рассказ Артура Конан Дойля «Пляшущие человечки».