Удлинённая треугольная пирамида

Удлинённая треуго́льная пирами́да^[1] — один из многогранников Джонсона (J₇, по Залгаллеру — М₁+П₃).

Удлинённая треугольная пирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	7 граней 12 рёбер 7 вершин Χ = 2
Грани	4 треугольника 3 квадрата
Конфигурация вершины	1(33) 3(3.42) 3(32.42)
Двойственный многогранник	J7
Развёртка
Классификация
Обозначения	J7, М1+П3
Группа симметрии	C3v
Медиафайлы на Викискладе

Составлена из 7 граней: 4 правильных треугольников и 3 квадратов. Каждая квадратная грань окружена двумя квадратными и двумя треугольными; среди треугольных граней 1 окружена тремя квадратными, остальные 3 — квадратной и двумя треугольными.

Имеет 12 рёбер одинаковой длины. 3 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 6 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 3 — между двумя треугольными.

У удлинённой треугольной пирамиды 7 вершин. В 3 вершинах сходятся две квадратных грани и одна треугольная; в 3 вершинах сходятся две квадратных и две треугольных грани; в 1 вершине сходятся три треугольных грани.

Удлинённую треугольную пирамиду можно получить из двух многогранников — правильного тетраэдра и правильной треугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив их друг к другу треугольными гранями.

Метрические характеристики

Если удлинённая треугольная пирамида имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 4{,}7320508a^{2},}$

${\displaystyle V=\left({\frac {\sqrt {2}}{12}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}\right)a^{3}\approx 0{,}5508638a^{3}.}$

В координатах

Удлинённую треугольную пирамиду с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;-{\frac {\sqrt {3}}{3}};\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}};\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;1+{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}\right).}$

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а одна из трёх плоскостей симметрии — с плоскостью yOz.

Заполнение пространства

С помощью удлинённых треугольных пирамид, квадратных пирамид (J₁) и/или октаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. иллюстрацию).