Уникурсальная кривая

Уникурсальная кривая — кривая на плоскости, которая может быть задана параметрическим уравнением:

Декартов лист

Лемниската Бернулли

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}~x=F(t);\\~y=G(t),\end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle F(t)}$ и ${\displaystyle G(t)}$ — рациональные функции параметра ${\displaystyle t}$.

Основные свойства

Уникурсальные кривые играют важную роль в теории интегралов алгебраических функций. Интеграл вида

${\displaystyle \int \limits {R(x,\;y)}\,dx,}$

где ${\displaystyle R(x,\;y)}$ есть рациональная функция двух переменных, а ${\displaystyle y}$ — функция от ${\displaystyle x}$, определяемая уравнением ${\displaystyle P(x,\;y)=0}$, задающим уникурсальную кривую, сводится к интегралу от рациональной функции и выражается в элементарных функциях.

Примеры

В качестве примеров уникурсальных кривых можно рассматривать любые алгебраические кривые второго порядка и некоторые кривые высших порядков, например декартов лист (кривая третьего порядка).