Уравнение поля

Уравнение поля — уравнение в частных производных, которое определяет динамику физического поля, в частности, временную эволюцию и пространственное распределение поля. Решениями уравнения представляют собой функции времени и координат пространства. Поскольку уравнение поля является уравнением в частных производных, существуют семейства решений, которые отвечают множеству физических возможностей. Обычно имеется не одно уравнение, а набор связанных уравнений, которые необходимо решить самосогласованно. Уравнения поля не являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, поскольку поле зависит от пространства и времени, для чего требуются как минимум две переменные.

В то время как «волновое уравнение», «уравнение диффузии» и «уравнение непрерывности» имеют стандартный вид (и различные особые случаи или обобщения), не существует единого специального уравнения, называемого «уравнением поля».

Типы уравнения можно разделить в целом на уравнения классической и квантовой теории поля. Классические уравнения поля описывают многие физические свойства, такие как температура вещества, скорость жидкости, напряжения в упругом материале, электрические и магнитные поля от тока^[1]. Они также описывают фундаментальные силы природы, такие как электромагнетизм и гравитация^[2][3]. В квантовой теории поля частицы или системы «частиц», такие как электроны и фотоны, связаны с полями, что обеспечивает бесконечные степени свободы (в отличие от конечных степеней свободы в механике частиц) и переменное число частиц, которые могут быть созданы или уничтожены.

Общие положения

Источник

Обычно уравнения поля постулируются (как уравнения поля Эйнштейна и уравнение Шрёдингера, лежащее в основе всех квантовых уравнений поля) или обобщаются по результатам экспериментов (как уравнения Максвелла). Степень их достоверности определяется их способностью правильно предсказывать и согласовываться с экспериментальными результатами.

С теоретической точки зрения уравнения поля могут быть сформулированы в рамках лагранжевой теории поля, гамильтоновой теории поля и более общего подхода в виде теоретико-полевых формулировок принципа стационарного действия^[4]. При наличии известной функции Лагранжа или Гамильтона, функции полей в данной системе, а также их производных, принцип стационарного действия позволит вывести уравнения поля.

Симметрия

Как в классической, так и в квантовой теории уравнения поля будут удовлетворять симметрии физической теории положенной в основу теории. В большинстве случаев симметрии Галилея достаточна для скоростей (распространяющихся полей), намного меньших скорости света. Когда частицы и поля распространяются со скоростью, близкой к скорости света, симметрия Лоренца является одной из наиболее распространённых ситуаций, поскольку уравнение и его решения в этом случае согласуются со специальной теорией относительности.

Другая симметрия возникает из-за свободы выбора точки отсчёта (калибровки), которая присуща уравнениям поля. Поля, соответствующие взаимодействиям, могут быть калибровочными полями, то есть их можно вывести из потенциала, и определённые значения потенциалов соответствуют одному и тому же значению поля.

Классификация

Уравнения поля можно классифицировать многими способами: классические или квантовые, нерелятивистские или релятивистские, в зависимости от спина или массы поля, а также количества компонентов поля и того, как они изменяются при преобразованиях координат (например, скалярные поля, векторные поля, тензорные поля, спинорные поля, твисторные поля). Их также можног классифицировать по типу дифференциальных уравнений как линейных или нелинейных, по порядку высшей производной или даже как дробных дифференциальных уравнений. Калибровочные поля классифицируются в теории групп, как абелевы и неабелевы.

Волны

Уравнения поля лежат в основе волновых уравнений, когда периодически изменяющиеся поля генерируют волны. Волновые уравнения можно рассматривать как уравнения поля в том смысле, что их часто можно вывести из уравнений поля. В качестве альтернативы, задавая соответствующие функции Лагранжа или Гамильтона и используя принцип стационарного действия, можно также вывести волновые уравнения.

Например, уравнения Максвелла можно использовать для вывода уравнений неоднородных электромагнитных волн, а из уравнений поля Эйнштейна выводятся уравнения движения для гравитационных волн.

Дополнительные уравнения к уравнениям поля

Не каждое уравнение в частных производных (УЧП) в физике автоматически называется «уравнением поля», даже если в нём участвуют поля. Эти дополнительные уравнения, обеспечивающие дополнительные ограничения для данной физической системы.

«Уравнения непрерывности» и «уравнения диффузии» описывают явления переноса, хотя они могут включать поля, которые влияют на процессы переноса.

Если «материальные уравнения» принимают форму уравнений в частных производных и включают поля, их обычно не называют уравнением поля, поскольку они не управляют динамикой полей. Они связывают одну область с другой в данной среде. Уравнения состояния используются вместе с уравнениями поля, когда необходимо учитывать влияние материи.

Классическое уравнение поля

Классические уравнения поля возникают в механике сплошной среды (в частности механику жидкости), теплопередаче, электромагнетизме и гравитации.

• Закон всемирного тяготения Ньютона для нерелятивистской гравитации.
• Уравнения поля Эйнштейна для релятивистской гравитации.
• Уравнения Максвелла для электромагнетизма.

Важные уравнения, выведенные из фундаментальных законов, включают в себя:

• Уравнения Навье-Стокса для течения жидкости.

В реальных процессах математического моделирования классические уравнения поля сопровождаются другими уравнениями движения, уравнениями состояния, материальными уравнениями и уравнениями непрерывности.

Уравнение квантового поля

В квантовой теории поля частицы описываются квантовыми полями, которые удовлетворяют уравнению Шрёдингера. Они также являются операторами рождения и уничтожения, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям и подчиняются теореме о спиновой статистике.

Частные случаи релятивистских квантовых уравнений поля включают^[5]:

• уравнение Клейна — Гордона для частиц со спином 0;
• уравнение Дирака для частиц со спином 1/2;
• уравнения Баргмана — Вигнера для частиц любого спина.

В квантовых уравнениях поля принято использовать компоненты импульса частицы вместо координат частицы; поля находятся в импульсном пространстве, а преобразования Фурье связывают их с координатным представлением.