Уравнения Петерсона ― Кодацци

Уравнения Петерсона ― Кодацци (или Петерсона ― Майнарди ― Кодацци) ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.

Уравнения

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид

${\displaystyle {\frac {\partial b_{i1}}{\partial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2}b_{22}={\frac {\partial b_{i2}}{\partial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{2}b_{21}}$

где ${\displaystyle b_{ij}}$ ― коэффициенты второй квадратичной формы, ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ ― символы Кристоффеля.

Свойства

• Теорема Бонне. Пусть ${\displaystyle g=g_{ij}}$ и ${\displaystyle b=b_{ij}}$, ${\displaystyle i,j\in \{1,2\}}$ — две гладкие квадратичные формы, заданные в односвязной области ${\displaystyle U}$. Если ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle b}$ удовлетворяют уравнениям Петерсона ― Кодацци (включая уравнение Гаусса), тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
  • Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.

История

Уравнения впервые найдены Петерсоном^[1] в 1853, переоткрыты Майнарди^[2] и Кодацци (1867)^[3].

Вариации и обобщения

Известен вариант уравнений для гиперповерхносей в пространствах старших размерностей, а также для произвольных коразмерностей.^[4]